1、1基础回扣(四) 数列要点回扣1 an与 Sn的关系式已知前 n 项和 Sn a1 a2 a3 an，则 anError!.由 Sn求 an时，易忽略 n1 的情况对点专练 1 已知数列 an的前 n 项和 Sn n21，则 an_.答案 Error!2等差数列的有关概念(1)等差数列的判断方法：定义法 an1 an d(d 为常数， nN *)或an1 an an an1 (n2)(2)等差数列的通项： an a1( n1) d(nN *)或 an am( n m)d.(n， mN *)(3)等差数列的前 n 项和： Sn ， Sn na1 d.na1 an2 nn 12对点专练 2 等差数
2、列 an的前 n 项和为 Sn，且 S36， a30.则公差 d 等于_答案 23等差数列的性质(1)当公差 d0 时，等差数列的通项公式 an a1( n1) d dn a1 d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d；前 n 项和 Sn na1 d n2 n 是关于 n 的二次nn 12 d2 (a1 d2)函数且常数项为 0.(2)若公差 d0，则为递增等差数列；若公差 dB.对点专练 4 在等比数列 an中，若 a11， a516，则 a3_.答案 45等比数列的性质当 m n p q 时，则有 aman apaq，特别地，当 m n2 p 时，则有 aman a .2p对点专练 5
3、 各项均为正数的等比数列 an中，若 a5a69，则log3a1log 3a2log 3a10_.答案 106数列求和数列求和时要明确项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法数列求和的方法有公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等对点专练 6 数列 an满足 an an1 (nN， n1)，若 a21， Sn是 an的前 n 项12和，则 S21的值为_答案 92易错盘点易错点 1 忽视数列首项致误3【例 1】 已知数列 an对任意 nN *都满足 a12 a22 2a32 n1 an85 n，则数列 an的通项公式为_错解 a12 a22 2a32 n1 an85 n，
4、 a12 a22 2a32 n2 an1 85( n1)，两式相减，得 2n1 an5， an .52n 1错因分析 当 n1 时，由题中条件可得 a13，而代入错解中所得的通项公式可得a15，显然是错误的其原因是：两式相减时，所适用的条件是 n2，并不包含 n1的情况只有所求的通项公式对 n1 时也成立，才可以这样写，否则要分开写正解 当 n2 时，由于 a12 a22 2a32 n1 an85 n，那么 a12 a22 2a32 n1 an1 85( n1)，两式对应相减可得 2n1 an85 n85( n1)5，所以 an .52n 1而当 n1 时， a13 5，521 1所以数列 a
5、n的通项公式为anError!本题实质上已知数列 an的前 n 项和 Sn，求通项 an与 Sn的关系中， an Sn Sn1 ，成立的条件是 n2，求出的 an中不一定包括 a1，而 a1应由 a1 S1求出，然后再检验 a1是否在 an中，这是一个典型的易错点对点专练 1 (1)数列 an的前 n 项和为 Sn(nN *)，2 Sn nan n，若 S20360，则 a2_.(2)已知数列 an的前 n 项之和为 Sn n2 n1，则数列 an的通项公式为_解析 (1)2 Sn nan n，当 n2 时，2 Sn1 ( n1) an1 n1，得：(2 n)an( n1) an1 1，(1
6、n)an1 nan1，由得，(22 n)an(1 n)(an1 an1 )，又 n2，1 n0.2 an an1 an1 (n2)，数列 an为等差数列，设其公差为 d，当 n1 时，2 S1 a11， a11，4 S2020 d360， d2， a2121.20192(2)当 n1 时， a1 S13；当 n2 时， an n2 n1( n1) 2( n1)12 n， anError!答案 (1)1 (2) anError!易错点 2 忽视等比数列公比的条件致误【例 2】 各项均为实数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S1010， S3070，则S40等于( )A150 B200C
7、150 或200 D400 或50错解 记 b1 S10， b2 S20 S10， b3 S30 S20， b4 S40 S30， b1， b2， b3， b4是公比为 r 的等比数列 b1 b2 b31010 r10 r2 S3070，即 r2 r60，得 r2 或r3.故 S40 ，代入得 S40150 或200.选 C.101 r41 r错因分析 数列 S10， S20 S10， S30 S20， S40 S30的公比 q100.忽略了此隐含条件，就产生了增解200.正解 记 b1 S10， b2 S20 S10， b3 S30 S20， b4 S40 S30， b1， b2， b3，
8、b4是公比为 r q100 的等比数列 b1 b2 b31010 r10 r2 S3070， r2 r60， r2， r3(舍去)， S40 b1 b2 b3 b4 150，故选 A.101 241 2在等比数列中，公比的条件在使用中要注意隐含条件， Sn中 q0；构造新数列要注意新数列的公比和原公比的关系，如等比数列 an的前 n 项和为Sn， S10， S20 S10， S30 S20， S40 S30的公比为 q100.对点专练 2 (1)已知等比数列 an的首项为 a1，公比为 q，给出下列四个有关数列 an的命题：p1：如果 a10 且 q1，那么数列 an是递增的等比数列；p2：如
9、果 a10 且 01，则 qn1 单调递增，又 a10，所以 an单调递增， p1为真命题；p2中 an(1) n，则 an不具有单调性，所以 p2为假命题； p3中若 00，所以 an单调递减， p4为真命题综上，可知真命题的个数为 3，故选 C.(2)当 q1 时， S3 S69 a1， S99 a1， S3 S6 S9成立当 q1 时，由 S3 S6 S9得 ，a11 q31 q a11 q61 q a11 q91 q q9 q6 q310，即( q31)( q61)0. q1， q310， q61， q1.答案 (1)C (2)1 或1易错点 3 分类讨论不当致误【例 3】 已知等差数
10、列 an的首项 a121，公差 d4，则数列| an|的前 n 项和Sn_.错解 由题意，知 an214( n1)254 n，因此由 an0，解得 n ，即数列 an的前 6 项大于 0，从第 7 项开始，以后各项均254小于 0.|a1| a2| a3| an|( a1 a2 a3 a6)( a7 a8 an)2( a1 a2 a6)( a1 a2 a6 a7 a8 an)2 n223 n132，所以 Sn2 n223 n132.错因分析 忽视了 n6 的情况，只给出了 n7 的情况正解 由题意，知 an214( n1)254 n，因此由 an0，解得 n ，即数列254an的前 6 项大于
11、 0，从第 7 项开始，以后各项均小于 0.当 n6 时， Sn| a1| a2| an| a1 a2 an2 n223 n.当 n7 时，| a1| a2| a3| an|( a1 a2 a3 a6)( a7 a8 an)62( a1 a2 a6)( a1 a2 a6 a7 a8 an)2 n223 n132，所以 SnError!在数列问题中，一定要注意项数 n 的取值范围，特别是在它取不同的值造成不确定的因素时，要注意对其加以分类讨论对点专练 3 (1)已知数列 an满足 an1 an an1 (n2)， a11， a23，记 Sn a1 a2 an，则下列结论正确的是( )A a100
12、1， S1005 B a1003， S1005C a1003， S1002 D a1001， S1002(2)已知 Sn是等差数列 an(nN *)的前 n 项和，且 S8S9S7，有下列四个命题，其中是假命题的是( )A公差 da9D满足 Sn0 的 n 的个数有 15 个解析 (1)由题意知，a11， a23， a32， a41， a53， a62， a71， a83 由此可以得出数列 an以 6 为一个周期，所以 a100 a41， S100 a1 a2 a3 a45，故选 A.(2) a8 S8 S70， a9 S9 S8S7， a8 a90， S1617a1 a172 172a92
13、8( a8 a9)0，满足 Sn0 的 n 的个数有 16 个，D16a1 a162 16a8 a92为假命题，故选 D.答案 (1)A (2)D易错点 4 数列与函数的区别认识不清致误【例 4】 已知数列 an是递增数列，且对于任意的 nN *， an n2 n 恒成立，则实数 的取值范围是_错解 因为 an n2 n 是关于 n 的二次函数，且 n1，所以 1，解得 2 2.7错因分析 数列是以正整数 N*(或它的有限子集1,2， n)为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点正解 解法一：作出满足条件的数列的图象，如图由图得， 3. 232解法二：由 an是递增数列，得 an(2 n1
14、)，对任意 nN *成立而(2 n1)3，所以 3.数列是特殊的函数，其定义域为 N*或它的子集，其图象是一些孤立的点，在研究其性质时不可忽略其特性对点专练 4 (1)设函数 f(x)Error! an f(n)，若数列 an是单调递减数列，则实数 a 的取值范围为( )A(，2) B.( ，138C. D.( ，74) 138， 2)(2)等差数列 an中， da2，所以Error!即Error!解得 a .故选 C.74(2)因为 d0，| a3| a9|，所以 a3 a9， a3 a90， a3 a92 a60， a60，所以Sn取最大值时 n5 或 6.8答案 (1)C (2)5 或 6
