1、生活中存在着各种形式的抛物线,抛物线的生活实例,投篮运动,抛物线的生活实例,抛球运动,抛物线的生活实例,飞机投弹,请同学们思考两个问题,1、我们对抛物线已有了哪些认识？,2、二次函数的图像抛物线的 开口方向是什么？,想一想？,平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线L叫做抛物线的准线。,抛物线的定义,在二次函数中研究的抛物线， 有开口向上或向下两种情形。,求曲线方程的基本步骤是怎样的？,想一想？,抛物线标准方程的推导,1.建:建立直角坐标系.,3. 列:根据条件列出等式;,4. 代:代入坐标与数据;,5. 化:化简方程.,2.设:设点
2、(x,y);,回顾求曲线方程一般步骤：,设焦点到准线的距离为常数P(P0)如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？,抛物线标准方程的推导,试一试？,K,K,设KF= p,设动点M的坐标为（x，y）,由抛物线的定义可知，,解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴,抛物线标准方程的推导,( p 0),抛物线标准方程的推导,如图，若以准线所在直线为y轴， 则焦点F(P,0),准线L:x=0,由抛物线的定义，可导出 抛物线方程为 y2 = 2p(x- )(p0）,比较之下，显然方程 y2 = 2px（p0）更为简单,方程 y2 = 2px（p0）叫做 抛物线的标准方程,其
3、中 p 为正常数，它的几何意义是:焦 点 到 准 线 的 距 离,抛物线的标准方程,但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。,方程 y2 = 2px（p0）表示的抛物线，其焦点 位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴,抛物线的标准方程,抛物线的标准方程还有哪些形式?,想一想？,抛物线的标准方程,其它形式的抛物线的焦点与准线又如何呢？,怎样把抛物线的位置特征（标准位置）和方程特征（标准方程）统一起来？,抛物线的标准方程,想一想？,抛物线方程,左右型,标准方程为 y2 =+ 2px (p0),开口向右: y2 =2px(x 0),开口向左:
4、 y2 = -2px(x 0),标准方程为 x2 =+ 2py (p0),开口向上: x2 =2py (y 0),开口向下: x2 = -2py (y0),抛物线的标准方程,上下型,准线方程,焦点坐标,标准方程,焦点位置,图形,四种抛物线及其它们的标准方程,x轴的 正半轴上,x轴的 负半轴上,y轴的 正半轴上,y轴的 负半轴上,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,F(-,-,-,-,第一：一次项的变量如为X（或Y）则焦点就在X轴（或Y轴）上。,抛物线的特征：,如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？,第二：一次项的系数的正负决定了开口方向,即：焦点与一次项变量相同；正负决定
5、开口方向 ！,例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的焦点坐标和准线方程；,（2）已知抛物线的方程是y = 6x2,求它的焦点坐标和准线方程；,（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。,解:方程可化为: 故焦点坐标 为 ,准线方程为,例题讲解,1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=2x2（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0,（5，0）,x= -5,（0，-2）,y=2,练习：,注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式,2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）,（2）准线方程
6、是x =,（3）焦点到准线的距离是2,解：y2 =12x,解：y2 =x,解：y2 =4x或y2 = -4x或x2 =4y或x2 = -4y,练习：,反思研究,先定位，后定量,例2：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解：1）设抛物线的标准方程为x2 =2py，把A（-3，2）代入，得p=,2）设抛物线的标准方程为y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,例题讲解,已知抛物线经过点P(4,2)，求抛物线的标准方程。,提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py,练习3：,例4:已知抛物线
7、方程为x=ay2（a0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？,例题讲解,例5 、 点M与点F(4，0)的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小1, 求点M的轨迹方程?,解：如图所示,设点M的坐标为(x,y).由已知条件得,点M与点F 的距离等于它到直线x+4=0的距离,根据抛物线的定义,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线.,因为 =4,所以 P=.,因为焦点在x轴的正半轴上,所以点M的轨迹方程为 y2=16x,例5.已知抛物线形古城门底部宽12cm,高6cm，建立适当的坐标系，求出它的标准方程,引申：（1）一辆货车宽4cm,高4cm，问能否通过此城门?,(2)若城门为双向行道，那么该货车能否通过呢？,3。抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判断方,2。抛物线的标准方程与其焦点、准线,4。注重数形结合的思想,1。抛物线的定义,课堂小结,5。注重分类讨论的思想,设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到y轴的距离为d,由抛物线定义可知,抛物线就是集合 P =M | | MF | = d 因为: | MF | = d = | x | 所以: = | x |即 = 2p( x-p/2 ) ( p0 ),
