1、2.2抛物线及其标准方程,问题：生活中有很多抛物线的例子，那么什么样的图形才叫抛物线呢？或者说抛物线有没有一个确切的定义呢？我们先看下面一个,动态图,一、抛物线的定义：,定点F叫做抛物线的焦点；,定直线L叫做抛物线的准线,平面内与一个定点F 和一条定直线L(L不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,思考,为什么定点F不在定直线L上？,F在L上时，轨迹是过点F垂直于L的一条直线。,L,问题：如何建立直角坐标系？使得抛物线的方程形式比较简单？并推导出抛物线方程。,标准方程的推导,1、建系,设F在直线l上的垂足为K，以FK的中点为坐标原点，以KF为x轴，建立直角坐标系。,2、设点,设|KF|=p(
2、p0)，,那么焦点F的坐标为(p/2,0)，,准线l上的方程为,l,F,K,M,N,o,x,设抛物线上任意一点M(x,y)，点M到l的距离为d，,3、列式,由抛物线的定义知,即,4、化简,l,F,K,M（x,y）,N,o,x,5、检验 经检验，满足方程y2=2px(p0)的点也在抛物线上。,我们把,这个方程称为焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程。,注：抛物线的标准方程是指抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的方程。 问题：抛物线的标准方程还有哪些呢？你能写出其他标准方程以及它们的焦点坐标和准线方程吗？请大家交流讨论。,抛物线的四种标准方程对比,1.抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特
3、点?,左边都是平方项，右边都是一次项.,2.如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？,焦点在一次项字母对应的坐标轴上.,一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.,例 1,已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的焦点坐标和准线方程；,例 2,解: 因焦点在x轴的正半轴上,p=4,根据下列条件，求抛物线的标准方程,（1）焦点为,故其标准方程为: y 2 = 8x,(2) 已知抛物线的准线方程是x= -3求它的标准方程.,解: 因抛物线的准线方程是x= -3,故其标准方程为: y 2 = 12x,p=6，,(3) 已知抛物线的焦点在x轴上，焦点到准线距离是2.,解: 由题意可知
4、p=2,因为焦点在x轴上,故其标准方程为: y 2 = 4x或y 2=-4x,(4) 已知抛物线过点（1,2）,解: 由题意可设抛物线方程为y2 =2px或者x2 =2py,代入（1,2）可得p=2或者p=1/4,所以抛物线方程为y2 =4x或x2 =y/2,练习：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）x2= y （3）x2 +8y =0,（5，0）,x= -5,(0 , -2),y=2,练习：,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x = ；,（3）焦点坐标是F（0，-2）,（4）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,x2 = - 8y,y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y,小 结 ：,1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法,2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、准线、方程,3、求标准方程（1）用定义；（2）用待定系数法,
