1、双曲线及其标准方程,请同学们回忆：椭圆的定义是什么？,如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？,复习引入：,平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。,思考：,数学实验,（1）取一条拉链； （2）如图把它固定在板上的两点F1、F2； （3）设 （4）在点M处放一只笔，拉动拉链（M）。,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a,如图(B)，,|MF2|-|MF1|=2a,由上面两式可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,上面
2、 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。,注意：常数2a要小于|F1F2|且大于0；,双曲线的定义,定点F1、F2 双曲线的焦点,|F1F2|=2c 双曲线的焦距,平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。,1、平面内与两定点的距离的差等于常数2a（小于 |F1F2|且大于0）的点的轨迹是：,2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（等于|F1F2| ）的点的轨迹是：,3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹是：,双曲线的一支,是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的
3、两条射线,不存在,设M(x，y)是双曲线上任意一点， |F1 F2| =2c，F1(-c,0),F2(c,0),根据双曲线的定义，又设点M与F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a(a0).,即 |MF1| - |MF2| = 2a,双曲线的标准方程,如图使 轴经过点F1、F2且以线段F1、F2的中点作为原点 ，建立直角坐标系,由双曲线定义知2c2a，即ca，,我们把由此得到的方程叫做双曲线的标准方程.,注意:,3. c2=a2+b2 , c最大.,2. a,b无大小关系;,化简得：（c2a2)x2a2y2=a2(c2a2)。,因此c2a20,令c2a2=b2(b0)，得：,b2x2a2y2=
4、a2b2，,1. 焦点在 轴，焦点坐标,焦点在y 轴上的双曲线标准方程是:,焦点在X 轴上的双曲线标准方程是:,谁正谁对应a2,焦点在谁轴。,|MF1|-|MF2| = 2a(02a|F1F2|),F (c,0),F (0, c),c2=a2+b2,双曲线的标准方程：,椭圆的标准方程：,2：a,b,c大小满足勾股定理。,1：焦点坐标相同，焦距相等。,1.椭圆中a最大，a2=b2+c2；在双曲线中c最大，c2=a2+b2；,2.椭圆方程中“+”，双曲线方程中“”；,3.判断焦点位置的方法不同。,例1. 已知双曲线的焦点为F1( -5, 0 )，F2( 5 , 0 )， 双曲线上一点P到F1、F2
5、的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程., 2a = 8, c=5, a = 4, c = 5, b2 = 52-42 =9,所以所求双曲线的标准方程为：,解：根据题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上，,设方程,例2.已知双曲线,（1） 求此双曲线的左、右焦点F1,F2的坐标；,（2） 如果此双曲线上一点P与焦点F1的距离等于16，求点P与焦点F2的距离。,解：,（1）根据双曲线的方程，可知此双曲线的焦点在X轴上。 由a2=36,b2=45得c2=a2+b2=36+45=81 所以c=9，焦点F1,F2的坐标分别为（-9，0），（9，0）。,（2）因为点P在双曲线上，所以|PF1|PF2|=2a. 由a=6,|PF1|=16,得16-|PF2|=12或-12 因此，|PF2|=4，或|PF2|=28.,x2与y2的系数的大小,x2与y2的系数的正负,c2=a2+b2,AB0,小结：,（1）推导双曲线的标准方程；,（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程；,（3）类比法。,焦点在y轴上的双曲线的方程是_；,椭圆的焦点由_决定；,双曲线的焦点由_决定；,在双曲线的标准方程中a,b,c的关系是_；,方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是_。,
