1、微积分基本定理,性质1,性质2,性质3,性质4, 定积分：, 定积分的性质：,复习回顾,引入,通过学习发现，虽然被积函数 很简单，但 直接用定积分定义计算 的值却比较麻烦，而 对于定积分 ，直接用定义计算几乎不可能。那 么有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？前面我们学习了微积分学中的最基本、最重要的 概念：导数和定积分，那么二者之间有没有内在的联 系？能否用这种联系来求定积分的值？,时间段 内，物体走过路程,若将t a , b平均分割成 n 个小时间段，插入 n-1 个点，即,若物体走过的路程 s 是时间 t 的函数s=s (t)，则 t=a 到 t=b ，物体走过的路程为s (b) s (
2、a)。,时间段 内，物体走过路程,引例,则,在 内，用 时刻的瞬时速度 代替 平均速度，则有,所以,当 时，,积分表示为,微积分基本定理：,若连续函数f (x)是函数F (x)的导函数，即，则有,F (x)是f (x) 的一个原函数,牛顿-莱布尼茨公式也可写作：,积分与导数的联系,原函数的端点 函数值之差,所以求定积分就是要寻找被积函数的原函数。,例1 计算下列定积分：,例2 求定积分：,解析,解析,例4 求定积分：,例3 求定积分 ，并解释其意义。,解析,解析,微积分基本定理表明，计算定积分 的关键是找到满足 的函数 F (x) ，通常 我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的 四则运算法
3、则从反方向上求出 F (x)。,计算定积分的关键是什么？,总结概括,巩固练习,小结, 微积分基本定理：,即牛顿-莱布尼茨公式,它将求定积分问题转化为求原函数的问题。,牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系。,结束,解：,（1） 的导数是2x ，根据微积分基本定理得：,由牛顿-莱布尼茨公式得：,根据微积分基本定理得：,（2）_的导数是 ，根据微积分基本定理 得：,（3）,（4）,返回,解：,分析：,被积函数为 ，是 形式,的一个原函数是,的一个原函数是,由牛顿-莱布尼茨公式得：,例题3,析：,，则cos x的一个原函数是sin x。,解：,由牛顿-莱布尼茨公式可得：,由图知，定积分 的值就是区间 内函数 y = cos x 与 x 轴所围平面图形面积的代数和，其中 x 轴上方的面积为正值，x 轴下方面积为负值。,返回,分析：,被积函数是由两个函数的和构成的，由定积分 的性质可知，和的定积分等于定积分的和：,解：,概括,2. 求定积分：,e,1. 求定积分：,1,ln3,
