1、7.3 压轴大题2直线与圆锥曲线,-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,1.解析几何综合题的宏观思想 (1)做好“几何条件代数化(坐标化)”,把几何条件用点的坐标及所设参量k表示. (2)认准基本变量,常用的基本量有:(1)斜率k,(2)点的坐标. (3)会借助中间过度量,求解解析几何题一定要考虑基本量是什么?中间量是什么?如何将中间量转化为基本量?几何条件如何坐标化.,-7-,2.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算” (1)定型,就是指定类型以及圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. (2)计算,一般利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,椭圆常设为
2、mx2+ny2=1(m0,n0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn0),抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0). (3)椭圆与双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常数,当AB0时,表示焦点在y轴上的椭圆;当BA0时,表示焦点在x轴上的椭圆;当AB0时,表示双曲线.,-8-,3.在椭圆焦点三角形PF1F2中,F1PF2=, 4.直线与圆锥曲线位置关系与“”的关系 设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由 消去y(或消去x)得ax2+bx+c=0.若a0,=b2-4ac,则0相交;0相离;=0相切.若a=0,得到一个一次方程,则C为双
3、曲线时,则l与双曲线的渐近线平行;C为抛物线时,则l与抛物线的对称轴平行.,-9-,5.直线与圆锥曲线相交时的弦长 (1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为y-y0=k(x-x0),若已知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0),设直线方程为x=ty+a; (2)弦长公式,斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,-10-,-11-,-12-,(2)如下图,直线AB过焦点F, 2AMF+MAB+2BNF+NBA=360, 又MAB+NBA=180, AMF+BNF=90, MFN=90. 得结论:MFN
4、=90点F在以MN为直径的圆上.,-13-,(3)若E为线段MN的中点,点G为线段AB的中点,则|EG|= |AB|, 得结论:点E在以AB为直径的圆上,AEB=90. 结论:连接AN交x轴于点T,则T为原点O.证明如下:8.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点,就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.,-14-,7.3.1 直线与圆及圆锥曲线,-16-,考向一,考向二,考向
5、三,求轨迹方程 例1(1)已知过点A(0,2)的动圆恒与x轴相切,设切点为B,AC是该圆的直径,求点C轨迹E的方程; (2)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程.,-17-,考向一,考向二,考向三,-18-,考向一,考向二,考向三,解题心得1.如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,设出动点坐标,直接利用等量关系建立x,y之间的关系F(x,y)=0,就得到轨迹方程. 2.若动点的轨迹符合某已知曲线的定义,可直接设出相应的曲线方程,用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数,从而求出轨迹方程.,-19
6、-,考向一,考向二,考向三,对点训练 1(1)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.求M的轨迹方程; (2)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程.,-20-,考向一,考向二,考向三,解: (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 所以M的轨迹方程是(
7、x-1)2+(y-3)2=2. (2)证明 因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16, 从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,-21-,考向一,考向二,考向三,例2(2018山东潍坊三模,理20节选)已知M为圆O:x2+y2=1上一动点,过点M作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,连接BA延长至点P,使得|PA|=2,记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)略.,-22-,考向一
8、,考向二,考向三,-23-,考向一,考向二,考向三,解题心得如果动点P的运动是由另外某一点Q的运动引发的,而该点坐标满足某已知曲线方程,则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点Q的坐标,然后把Q的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.,-24-,考向一,考向二,考向三,-25-,考向一,考向二,考向三,-26-,考向一,考向二,考向三,-27-,考向一,考向二,考向三,直线和圆的综合 例3(2018全国卷2,理19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程. (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方
9、程.,-28-,考向一,考向二,考向三,-29-,考向一,考向二,考向三,-30-,考向一,考向二,考向三,解题心得处理直线与圆的综合问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如经常用到弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形,利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.,-31-,考向一,考向二,考向三,对点训练 3已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.,-32-,考向一,考向二,考向三,-33-,考向一,考向二,考向三,-34-,考向一,
10、考向二,考向三,-35-,考向一,考向二,考向三,解题心得在已知直线与圆锥曲线相交求某个量的值的题目中,一般需要将题目中的已知条件转化成交点坐标之间的关系,通过联立直线与曲线的方程,解出点的坐标,从而构成关于所求量的方程,解方程得之.,-36-,考向一,考向二,考向三,对点训练 4在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: (ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.,解: (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),点P(0,1)在C1上, 所以c=1,b=1,所以a2=b2+c2=2. 所以椭圆C1的方程为,-37-,考向一,考向二,考向三,
