1、第四章 三角函数,高考文数,4.3 三角恒等变换,知识清单,考点 两角和与差的三角公式和二倍角公式,tan +tan =tan(+)(1-tan tan ); tan -tan =tan(-)(1+tan tan ). (2)升幂公式 1+cos =2cos2 ;1-cos =2sin2 . (3)降幂公式 sin2= ;cos2= . (4)其他常用变形 sin 2= = ; cos 2= = ;,拓展延伸 1.公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形,1sin = ; tan = = . 2.辅助角公式 asin +bcos = sin(+), 其中cos = ,sin = .,
2、三角函数式的化简方法 1.化简原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角合 理地拆分,从而正确运用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定要使用的公式; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常 见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等. 2.化简要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少; (2)尽量使分母不含三角函数; (3)尽量使被开方数不含三角函数等.,方法技巧,3.化简方法 (1)直接应用公式进行降次、消项; (2)切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名; (3)三角
3、公式的逆用等. 例1 (1)(2014课标,8,5分)设 , ,且tan = ,则 ( C ) A.3-= B.3+= C.2-= D.2+= (2)化简: (0)= .,解题导引 (1)由切化弦及两角差的正弦得cos =sin(-) 利用诱导公式得sin = sin(-)利用、的取值范围得-= - 结论 (2)利用倍角公式化成 同角三角函数 利用同角三角函数关系及的范围得结果,解析 (1)由tan = ,得 = ,即sin cos =cos +sin cos , 所以sin(-)=cos ,又cos =sin ,所以sin(-)=sin ,又因为 , ,所以- - ,0 - ,因此-= -,
4、所以2-=,故选C. (2)原式= =cos = .,因为00, 所以原式=-cos .,答案 (2)-cos ,三角函数式的求值方法 1.“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上看是很难的, 但非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用这种关系,结合公式 转化为特殊角的三角函数并且消掉非特殊角的三角函数而得解. 2.“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函 数式的值,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系. 3.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一三角函数 值,再求角的范围,确定角. 例2 (1)(2017湖北百所重点学校高三联考,10
5、)4sin 80- 等于 ( B ) A. B.- C. D.2 -3,(2)(2017课标全国,15,5分)已知 ,tan =2,则cos = .,解题导引 (1)对原式进行 通分 利用诱导公式及拆角 公式进行化简 结论 (2)由tan = =2得sin =2cos 结合sin2+cos2=1及的 取值范围得sin 与cos 的值 代入两角差的余弦 公式得结果,解析 (1)4sin 80- = = = = = =- . 故选B. (2)因为 ,且tan = =2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,所 以sin = ,cos = ,则cos =cos cos +sin sin
6、 = + = .,答案 (2),利用辅助角公式解决问题的方法 利用asin x+bcos x= sin(x+) 把形如y=asin x+bcos x +k的函数化为一个角的一种三角函数的一次式,从而可以求三角函数的 单调区间、周期、值域和最值、图象的对称轴以及对称中心等问题.同 时要牢记30,45,60等特殊角的三角函数值,能合理选用公式. 例3 (2017山西临汾二模,11)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x,当x=时,函 数y=f(x)取得最小值,则 = ( C ) A.-3 B.3 C.- D.,解题导引 利用降幂公式及辅助角公式将f(x)化成同名同角三角函数 利用三角
7、函数的有界性求得 f(x)取最小值时2的值 代入2的值求得 代数式结果,解析 f(x)=sin2x+sin xcos x= sin 2x- cos 2x+ = sin + , 当x=时,函数y=f(x)取得最小值,即2- =- +2k,kZ,那么2=2k- ,k Z, 则 = = =- .故选C.,例4 (2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,xR. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)由已知,有 f(x)= - = - cos 2x= sin 2x- cos 2x= sin . 所以f(x)的最小正周期T= =. (2)因为f(x)在区间 上是减函数,在区间 上是增函数, = , f = , f = .所以f(x)在区间 上的最大值为 , 最小值为- .,
