1、第四章 三角函数,高考文数,4.4 解三角形,考点 用正、余弦定理解三角形1.正、余弦定理,知识清单,2.解三角形的类型 (1)已知两角及一边,用正弦定理,有解时,只有一解. (2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,有解时可分为几种情况.在 ABC中,已知a、b和角A时,解的情况如下:,上表中A为锐角时,absin A无解;A为钝角时,a=b,ab均无解. (3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解. (4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解. 3.三角形的面积 设ABC的三边为a,b,c,所对的三个内角为A,B,C,其面积为S,外接圆半 径为R. (1)S= ah(h为BC边上的高)
2、; (2)S= absin C= acsin B= bcsin A; (3)S=2R2sin Asin Bsin C; (4)S= ;,(5)S= . 4.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在 水平线上方的角叫 仰角 ,目标视线在水平线下方的角叫 俯角 (如图a).,(2)方位角 方位角是指从某点的 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平 角,如B点的方位角为(如图b). (3)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角. 拓展延伸在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,常见的结论如下: (1)A+B+C=; (2)在ABC中,大角
3、对大边,大边对大角,如:abABsin Asin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (4)在锐角三角形ABC中,sin Acos BA+B ; (5)在斜ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;,(6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; tan(A+B)=-tan C ;sin =cos ;cos =sin .,正弦定理和余弦定理的应用方法 在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,还是两 个定理都要用,要抓住能够利用定理的信息.一般地,如果式子中含有角
4、的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或 边的一次式,则考虑用正弦定理;如果以上特征都不明显,则要考虑到两 个定理都要用到. 例1 (2017天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知asin A=4bsin B,ac= (a2-b2-c2). (1)求cos A的值; (2)求sin(2B-A)的值.,方法技巧,解题导引 (1)由asin A=4bsin B及 正弦定理得a=2b 由ac= (a2-b2-c2),a=2b 及余弦定理求cos A (2)求sin A的值 求sin B及cos B的值 利用二倍角公式得sin 2B 及co
5、s 2B的值 代入两角差的正弦公式 得结果,解析 (1)由asin A=4bsin B及 = ,得a=2b. 又由ac= (a2-b2-c2)及余弦定理, 得cos A= = =- . (2)由(1)及已知,可得sin A= ,代入asin A=4bsin B, 得sin B= = . 由(1)知,A为钝角,所以cos B= = . 于是sin 2B=2sin Bcos B= ,cos 2B=1-2sin2B= , 故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A= - =- .,三角形形状的判断方法 1.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数的关系,通过三 角恒等
6、变换,得出三角形内角之间的关系,从而判断出三角形的形状. 2.利用正、余弦定理把已知条件转化为边之间的关系,通过因式分解、 配方等得出边的相应关系,从而判断出三角形的形状. 例2 (2016辽宁五校第一次联考,8)在ABC中,角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行,则ABC 一定是 ( C ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰或者直角三角形,解题导引 由两直线平行 得出边角关系 利用正弦或余弦定理化成角 与角或边与边之间的关系 化简关系式 判断三角形的形状,解析 解法一:由两直线平行可得b
7、cos B-acos A=0,由正弦定理可知 sin Bcos B-sin Acos A=0,即 sin 2A= sin 2B,又A、B(0,),且A+B(0,), 所以2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B= .若A=B,则a=b,cos A=cos B,此时 两直线重合,不符合题意,舍去,故A+B= ,则ABC是直角三角形,故选C. 解法二:由两直线平行可得bcos B-acos A=0,由余弦定理,得a = b ,所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),所 以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2
8、+b2=c2.若a=b,则两直线重合,不符合题 意,故a2+b2=c2,则ABC是直角三角形,故选C.,解三角形应用题的方法 1.解三角形应用题的步骤2.解三角形应用题的两种方法 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解; (2)实际问题抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形, 这时需作出这些三角形,先解条件已知的三角形,然后逐步求出其他三 角形的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所 求的解. 3.解三角形应用题应注意的问题 (1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词,并能准确地找出这 些角; (2)要注
9、意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来使用, 这样可以优化解题过程; (3)注意题目中的隐含条件以及解的实际意义.,例3 (2015湖北,15,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行 驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后 到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度 CD= m.,解题导引 由已知条件及三角形内角和 定理可得ACB的值在ABC中,利用正弦 定理求得BC在RtBCD中,利用锐角三角函数的定义求得CD的值,解析 依题意有AB=600,CAB=30, CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB. ACB=45, 在ABC中,由 = , 得 = , 有CB=300 , 在RtBCD中,CD=CBtan 30=100 , 则此山的高度CD=100 m.,答案 100,
