1、第四章 基本初等函数（三角函数） 4.2 三角函数的图象与性质,高考理数,考点一 三角函数的图象及其变换 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x在0,2上的图象 的形状时,起关键作用的五个点是 (0,0) 、 、 (, 0) 、 、 (2,0) . 2.作y=Asin(x+)(0)的图象主要有以下两种方法: (1)五点法 用五点法作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取,知识清单, 0 , , , , 2 来求出相应的x,通过列 表计算得出五点坐标,描点后得出图象. (2)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象,有两种主要 途
2、径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,上述两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是| 个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (0)个单 位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的. 3.y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)表示一个振动量时,A叫做 振 幅 ,T= 叫做 周期 , f= = 叫做 频率 ,x+叫做 相位 ,x=0时的相位称为 初相 .,考点二 三角函数的性质及其应用,求函数y=Asin(x+)+B解析式的方法与步骤 (1)求A、B,确定函数的最大值M和最小值m,则A= ,B= . (2)由周期得到,= ,确定周期时可利用以下结
3、论: a.函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为函数的半个周期; b.函数图象的相邻两个对称中心间的距离也为函数的半个周期; c.一条对称轴和与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的 个周期 (借助图象很好理解、记忆). (3)利用峰点、谷点或零点列出关于的方程,结合的范围解得的值, 所列方程如下:,根据图象确定函数解析式,方法技巧,峰点:x+= +2k;谷点:x+=- +2k. 利用零点时,要区分该零点是升零点,还是降零点. 升零点(图象上升时与x轴的交点):x+=2k; 降零点(图象下降时与x轴的交点):x+=+2k. (以上kZ),A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=si
4、n,例1 (2017河南南阳一中四模,8)函数f(x)=Asin(x+) 的部分图象如图所示,若将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为 ( A ),解析 根据函数的图象知A=1, = - = , 则T=,= =2,利用f =1, 解得=k+ (kZ), 由于| ,所以= , 求得f(x)=sin ,将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵 坐标不变)得到g(x)=sin 的图象,故选A.,1.已知三角函数解析式求单调区间 (1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复 合函数单调性规律“同增异减”.
5、(2)求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(其中0)的单调区间时,要视 “x+”为一个整体,通过解不等式求解.如果0,那么一定先借助诱 导公式将化为正数. 2.已知三角函数的单调区间求参数,先求出函数的单调区间,然后利用集 合间的关系求解.,三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略,例2 (2015天津,14,5分)已知函数f(x)=sin x+cos x(0),xR.若函数f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,则 的值为 .,解题导引,解析 由已知得f(x)= sin ,令2k- x+ 2k+ ,kZ,由 0,得 x ,kZ, 当k=0时,f
6、(x)的单调递增区间为 , 所以(-,) , 所以 解得0 , 又y=f(x)的图象关于直线x=对称, 所以2+ =k+ ,kZ,解得2=k+ ,kZ,又0 ,所以= .,答案,1.若f(x)=Asin(x+)(A,为常数,A0)为偶函数,则=k+ (kZ),同 时当x=0时, f(x)取得最大值或最小值.若f(x)=Asin(x+)为奇函数,则=k(kZ),同时当x=0时, f(x)=0. 2.求三角函数的最小正周期,一般先通过恒等变形化为y=Asin(x+)或y =Acos(x+)或y=Atan(x+)(A,为常数,A0)的形式,再分别应用公 式T= 或T= 或T= 求解. 3.函数f(x
7、)=Asin(x+)(A,为常数,A0)图象的对称轴一定经过图象 的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断 直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)的值进行判断.,三角函数的奇偶性、周期性、对称性的求解方法,例3 (2017全国100所名校高考数学冲刺卷,9)若函数f(x)=sin 的 图象向左平移 个单位后,得到y=g(x)的图象,则下列说法错误的是 ( C ) A.y=g(x)的最小正周期为 B.y=g(x)的图象关于直线x= 对称 C.y=g(x)在 上单调递增 D.y=g(x)的图象关于点 对称,解析 把函数f(x)=sin 的图象向左平移 个单位后,得到y=g(x)= sin 的图象,故g(x)的最小正周期为 =,故A正确;令x= ,可得g(x)=1,为最大值,故y=g(x)的图象关于直线x= 对称,故B正确;在 上,2x+ ,故y=g(x)在 上没有单调性,故C错误;由x=,可得g(x)=0,故y=g(x)的图象关于点 对称,故D正确,故选C.,
