1、第四章 基本初等函数（三角函数） 4.5 解三角形,高考理数,考点一 正弦定理和余弦定理,知识清单,考点二 正、余弦定理的应用 1.有关概念 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线 下方 的角叫俯角(如图a).,(2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角,如B点的方位角 为(如图b). (3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图c). a.北偏东:指北方向 顺时针 旋转到达目标方向. b.东北方向:指北偏东45.,(4)坡角: 坡面 与水平面所成的锐二面角叫坡角(如图d,角为坡角). 坡度:坡面的铅直高度与 水平宽度 之比叫做坡度(
2、或坡比)(如图d, i为坡比).2.三角形的面积公式 设ABC的三边为a,b,c,三边所对的三个角分别为A,B,C,面积为S. (1)S= ah(h表示边BC上的高).,(2)S= absin C= acsin B= bcsin A. (3)S= =2R2sin Asin Bsin C(R为ABC外接圆的半径). (4)S= r(a+b+c)(r为ABC内切圆的半径). (5)S= . 3.解斜三角形在实际中的应用 解斜三角形在实际中的应用非常广泛,如测量、航海等方面都可能用 到.解题的一般步骤: (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求; (2)根据题意画出示意图; (3)将需要求解的问
3、题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦,定理、余弦定理等有关知识求解; (4)检验所得的结果是否具有实际意义,对解进行取舍,并写出答案.,4.已知两边a、b及其中一边a的对角A,由正弦定理 = 可求出另 一边b的对角B,由C=-(A+B)可求出C,再由 = 可求出c,而通过= 求B时,可能有一解,两解或无解的情况,其判断方法如下表:,例1 (2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.,解题导引,解析 (1)由已知可得tan A=-
4、 ,所以A= . 在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos , 即c2+2c-24=0. 解得c=-6(舍去),或c=4. (2)由题设可得CAD= , 所以BAD=BAC-CAD= . 故ABD面积与ACD面积的比值为 =1. 又ABC的面积为 42sinBAC=2 ,所以ABD的面积为 .,在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或 余弦定理转化为角与角之间的关系或边与边之间的关系,再用三角变换 或代数式的恒等变形(如因式分解法、配方法等)求解,注意等式两边的 公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能. 例2 在ABC中,a、b、c分别表示
5、三个内角A、B、C的对边,如果(a2+ b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.,利用正、余弦定理判断三角形的形状,解题导引,解析 解法一:已知等式可化为 a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B), 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A. 由正弦定理可知上式可化为 sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A, sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, sin 2A=sin 2B,由02A2,02B2, 得2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A= -B
6、, ABC为等腰三角形或直角三角形.,解法二:同解法一可得2a2cos Asin B=2b2sin Acos B. 由正、余弦定理,可得 a2b =b2a , a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, a=b或a2+b2=c2, ABC为等腰三角形或直角三角形.,评析 判断三角形形状可通过边和角两种途径进行判断,应根据题目条 件选用合适的策略: (1)若用边的关系,则有:若A为锐角,则b2+c2-a20;若A为直角,则b2+c2-a2= 0;若A为钝角,则b2+c2-a20. (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,
7、通 过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注 意应用A+B+C=这个结论.,1.几种常见题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海 问题、物理问题等. 2.解题时需注意的几个问题 (1)要注意仰角、俯角、方位(向)角等名词,并能准确地找出这些角; (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现 题目中的隐含条件.,正、余弦定理的实际应用策略,3.解三角形应用题的方法 (1)解三角形应用题的一般步骤(2)解三角形应用题的两种情形 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中, 可用正弦定理或余弦定理求解. 实际问题经抽
8、象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角,形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三 角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出 所要求的解. (3)解三角形应用题应注意的问题 画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形,如等边三角形、直角三角 形等,这样可以优化解题过程. 解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据), 少用间接求出的量.,例3 (2017河南六市联考,18)某地棚户区改造建筑用地的平面示意图 如图所示,经规划调研确定,棚改规划建筑用地区域近似为圆面,该圆面 的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地,测量 可知边
9、界AB=AD=4万米,BC=6万米,CD=2万米. (1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面 积及AC的长; (2)因地理条件的限制,边界AD,DC不能变更,而边界AB,BC可以调整,为 了提高棚户区建筑用地的利用率,请在弧 上设计一点,使得棚户区 改造后的新建筑用地APCD的面积最大,并求出最大值.,解题导引,解析 (1)根据题意知,四边形ABCD内接于圆, ABC+ADC=. 在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,即AC2=42+ 62-246cosABC. 在ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC,即AC2=42 +22-2
10、42cosADC. 又cosADC=-cosABC, cosABC= ,AC2=28,即AC=2 万米. 又ABC(0,),ABC= ,ADC= . S四边形ABCD= 46sin + 24sin =8 (万平方米). (6分),(2)由题意知,S四边形APCD=SADC+SAPC,且SADC= ADCDsin =2 (万平方 米). (8分) 设AP=x,CP=y. APC=ABC= ,SAPC= xysin = xy. 在APC中,由余弦定理得AC2=x2+y2-2xycos =x2+y2-xy=28. 又x2+y2-xy2xy-xy=xy,当且仅当x=y时取等号, xy28. (11分) S四边形APCD=2 + xy2 + 28=9 (万平方米), 故所求面积的最大值为9 万平方米, 此时点P为弧 的中点. (12分),方法点拨 本题主要考查三角形在实际生活中的应用. (1)在ABC和ADC中,灵活利用余弦定理求解即可. (2)设出AP,CP的长,在APC中,结合余弦定理和基本不等式求解即可.,
