1、1281 锐角三角函数第 1 课时 正弦关键问答在直角三角形中，一个锐角的正弦是哪两条边的比？若三角形的三边都扩大为原来的 k 倍(或缩小为原来的 )，则这个比值会发生变化吗？1k求锐角正弦值的方法是什么？1 在 Rt ABC 中， C90，如果各边的长度都扩大为原来的 2 倍，那么锐角 A的正弦值( )A扩大为原来的 2 倍 B缩小为原来的12C不变 D扩大为原来的 4 倍2在 Rt ABC 中， C90， AB5， AC4，则 sinA 的值为( )A. B. C. D.45 35 34 433 如图 2811 所示， ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinB 的值为( )图 281
2、1A. B. 12 22C. D132命题点 1 利用正弦函数的定义求值 热度：97%4. 如图 2812，已知 的一边在 x 轴上，另一边经过点 A(2，4)，顶点为2B(1，0)，则 sin 的值是( )图 2812A. B. C. D.25 55 35 45解题突破点到 x 轴的距离等于该点纵坐标的绝对值.5. 对于锐角 ，sin 的值不可能为( )A. B. C. D222 33 25易错警示锐角 的正弦值的范围可以通过定义，由直角三角形三边的大小关系来确定.6. 如图 2813，在 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高， A45，则下列比值中不等于 sinA 的是( )图
3、2813A. B. C. D.CDAC BDCB CBAB CDCB方法点拨求锐角的正弦值还可以用等角代换的方法7. 如图 2814， ABC 的顶点都是正方形网格的格点，则 sinA 的值为( )图 2814A2 B. C. D.12 23 55方法点拨在网格图中求锐角的正弦值时，先看所求角所在的格点三角形是不是直角三角形，若不是，则需要作出包含所求角的直角三角形8 如图 2815， ABC 的各个顶点都在正方形网格的格点上，则 sinA 的值为( )3图 2815A. B. C. D.55 2 55 2 25 105方法点拨求格点三角形某条边上的高常用的方法是等积法.9. 如图 2816，
4、已知直线 l1 l2 l3 l4，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，那么 sin 的值为( )图 2816A. B. C. D.12 55 52 2 55解题突破过点 D 作这一组平行线的垂线，利用全等的知识把已知条件集中到同一个直角三角形中，进而利用正弦的定义求值.10已知 AE，CF 是锐角三角形 ABC 的两条高，若 AECF32，则sinBAC sinACB 的结果是( )A32 B23 C94 D4911. 在 RtABC 中，C90，BD 是ABC 的角平分线，将BCD 沿着直线 BD 折叠，点 C 落在点 C1处，如果 AB5，A
5、C4，那么 sinADC 1的值是_方法点拨求锐角的正弦值，需要构造这个角所在的直角三角形，或者将其转移到某个直角三角形中.12如图 2817，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(3，3)和点 B(7，0)，则sinABO 的值为_图 281713. 如图 2818，在 RtABC 中，C90，A30，E 为 AB 上一点，且AEEB41，EFAC 于点 F，连接 FB，则 sinBFC 的值为_4图 2818方法点拨利用相似三角形的性质及勾股定理求边长是几何问题中常用的方法.14如图 2819，在ABC 中，ADBC 于点 D，如果 AD10，DC5，E 为 AC 的中点，求 sinE
6、DC 的值图 2819命题点 2 正弦函数的简单应用 热度：95%15在 Rt ABC 中， C90，那么 sinA 的值( )A与 AB 的大小有关 B与 BC 的大小有关C与 AC 的大小有关 D与 A 的大小有关16在 Rt ABC 中， C90，sin A ， BC6，则 AB 的长为( )35A4 B6 C8 D1017.在 ABC 中， AB5， BC6， B 为锐角，且 sinB ，则 C 的正弦值为( )35A. B. C. D.56 23 3 1313 2 1313方法点拨在直角三角形中，若已知一个锐角的正弦值、这个角的对边、这个三角形的斜边这三个量中的两个量，就可以求得第三
7、个量.18如图 28110，在 Rt ABC 中， ACB90， D 是 AB 的中点，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E， BC6，sin A ，则 DE_35图 2811019.如图 28111，矩形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 O 作 OE AC 交 AB于点 E，若 BC4， AOE 的面积为 5，则 sin BOE 的值为_图 28111解题突破因为所求角所在的三角形不是直角三角形，所以需要添加辅助线，想办法将角进行转化.520已知：如图 28112，在 ABC 中， AC10，sin C ，sin B ，求 AB 的长45 13图 2811221
8、.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)如图 28113，在 ABC 中， AB AC，顶角 A 的正对记作 sadA，这时 sadA .容易知道一个角的底 边腰 BCAB大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述对角的正对的定义，解答下列问题：(1)sad60的值为_；(2)当 0 A180时， A 的正对 sadA 的取值范围是_；(3)已知 sin ，其中 为锐角，试求 sad 的值35图 28113解题突破利用 “规定 ”把新情境下的问题转化成我们所学过的知识，再运用已有的经验和方法进行求解.67详解详析1C 2.B 3.B4D 解析 过点 A 作 AC x 轴
9、于点 C，则 AC4， OC2.又因为 OB1，所以BC3，所以 AB5，所以 sin .ACAB 455D 解析 sin ，由于斜边的长大于任何一条直角边的长，所以 的 对 边斜 边0sin 1.6D 解析 在 Rt ABC 中，sin A ；CBAB在 Rt ACD 中，sin A ；CDAC A B90， B BCD90， A BCD.在 Rt BCD 中，sin Asin BCD .BDCB7D 解析 如图，连接 CD，根据网格图的特点，可知 ADC90，设每个小正方形的边长均为 1，则 CD ， AC ，所以 sinA .2 10CDAC 558A 解析 设每个小正方形的边长均为 1
10、，过点 C 作 CD AB 于点 D， ABC 的面积为 4311 31 21 43 .12 12 12 52因为 AB5，所以 5CD ，所以 CD1.12 52又因为 AC ，所以 sinA 的值为 .5559B 解析 如图，过点 D 作 EF l1，交 l1于点 E，交 l4于点 F， EF l1， l1 l2 l3 l4， EF 和 l2， l3， l4的夹角都是 90，即 EF 与 l2， l3， l4都垂直， DE1， DF2.四边形 ABCD 是正方形， ADC90， AD CD， ADE CDF90.8又 ADE90， CDF.又 AD CD， AED DFC90， ADE D
11、CF， CF DE1，在 Rt CDF 中， CD ，CF2 DF2 5sin sin CDF .CFCD 5510B 解析 由题意可得 sin BAC ，sin ACB ，CFAC AEAC所以 sin BACsin ACB CF AE23.11. 解析 C90， BD 是 ABC 的角平分线，将 BCD 沿着直线 BD 折叠，45则点 C1恰好落在斜边 AB 上， DC1A90， ADC1 ABC. AB5， AC4，sin ADC1sin ABC .4512. 解析 过点 A 作 AC x 轴于点 C.因为 A(3，3)，所以 AC3， OC3.又因为35B(7，0)，所以 BC4，所以
12、 AB5，所以 sin ABO .ACAB 3513. 解析 在 Rt ABC 中， C90， A30， BC AB.514 7 12设 AB5 x， AE EB41， AE4 x， EB x， BC x.52 ABC 是直角三角形， AC x.52 3 EF AC， C90， EF BC， AF FC AE EB41，即 FC AC x，15 32 BF x，sin BFC .7BCBF 514 714解： AD BC， ADC90. AD10， DC5， AC5 .5 E 为 AC 的中点， DE AE EC AC，12 EDC C，sin EDCsin C .ADAC 105 5 25
13、515D16D 解析 在 Rt ABC 中， C90，sin A ， BC6，BCAB 359 AB 10.故选 D.BCsinA 63517C 解析 如图，过点 A 作 AD BC 于点 D.sin B ， .35 ADAB 35 AB5， AD3， BD4. BC6， CD2， AC ，sin C .13ADAC 3 131318. 解析 BC6，sin A ，154 35 AB6 10， AC8.35 D 是 AB 的中点， AD5.由 ABC AED，可得 DE .BCADAC 658 15419. 解析 取 AB 的中点 F，连接 OF， EC，过点 B 作 BG AC 于点 G.由
14、矩形的性质35可得 AO BO CO DO， OF AB， OF BC2.12又 AOE 的面积为 5， AE5.由线段垂直平分线的性质可得 EC AE5.在 Rt BCE 中，由勾股定理可得 BE3. BG AC， OE AC， BG OE， .OGAO BEAE 35 BG OE， BOE OBG，sin BOEsin OBG .OGBO OGAO 3520解：过点 A 作 AE BC，垂足为 E.10在 Rt ACE 中， AEC90，sin C ， ， AE8.AEAC 45 AE10在 Rt ABE 中， AEB90，sin B ， ， AB24.AEAB 13 8AB21解：(1)
15、根据正对的定义，当等腰三角形的顶角为 60时，其底角为 60，则三角形为等边三角形，则 sad601.(2)当 A 接近 0时，sad A 接近 0，当 A 接近 180时，等腰三角形的底边长接近于腰长的 2 倍，故 sadA 接近 2.所以当 0 A180时，sad A 的取值范围是 0sad A2.(3)如图，在 ABC 中， ACB90，sin A .35在 AB 上取一点 D，使 AD AC，过点 D 作 DH AC， H 为垂足，令 BC3 k， AB5 k，则 AD AC4 k.在 ADH 中， AHD90，sin A ，35所以 DH ADsinA k，由勾股定理可得 AH k，125 AD2 DH2 165则在 Rt CDH 中， CH AC AH k， CD k.45 45 10在 ACD 中， AD AC4 k， CD k，45 10由正对的定义可得 sadA ，CDAD 105即 sad .105【关键问答】在直角三角形中，一个锐角的正弦是这个锐角的对边与斜边的比；这个比值不会发生变化使锐角成为某个直角三角形的内角，利用这个锐角的对比与斜边的比来求得正弦值
