1、1田家炳高中 2018-2019 学年度上学期月考试卷高二数学（理）一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题只有一项是符合题意，请将答案答在答题卡上。每小题 5 分，共 60 分）1已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）A 充分非必要条件 B 必要非充分条件C 充要条件 D 既非充分又非必要条件2设 、 是椭圆的两个焦点，点 为椭圆上的点，且 ， ，则椭圆的短轴长为（ ）A B C D 3过点(2，2)与双曲线 x22y 22 有公共渐近线的双曲线方程为( )A B C D 4直线= 与椭圆 = 的位置关系为A 相交 B 相切 C 相离 D 不确定5方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是 A B
2、 C D 6已知椭圆 上的一点 到左焦点 的距离为 ，点 是线段 的中点， 为坐标原点，则A B C D 7下列四个命题中真命题的个数是命题 的逆否命题为 ；命题 的否定是命题“ ， ”是假命题.2命题 ，命题 ，则 为真命题A B C D 8已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点坐标为 ，则双曲线方程为（ ）A B C D 9已知 .若“ ”是真命题，则实数 a 的取值范围是A (1，+) B (，3) C (1，3) D 10在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 和 ，顶点 在椭圆xOyAB3,0,CA上，则 的值为（ ）2167xyAA B C D 323411已知点 为双曲线 的
3、左右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 12倾斜角为 的直线经过椭圆 右焦点，与椭圆交于 、 两点，且 ，则该椭圆的离心率为( )A B C D 二、填空题（本大题共有 4 个小题。每空 5 分，共 20 分）13写出命题“ ， ”的否定：_14已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 且 上一点到 的两个焦点的距离之3和为 ,则椭圆 的方程为_.15已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的离心率是_。16已知椭圆 的右焦点为 , 是椭圆上一点，点 ，当点 在椭圆上运动2195xyFP0,23AP时， 的周长的最大值
4、为 _ .APF三、解答题（本大题共有 6 个小题，满分 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分） （1）焦点在 轴上，长轴长为 ，离心率为 ,求椭圆的标准方程；x1054（2）顶点间的距离为 ，渐近线方程为 ，求双曲线的标准方程.632yx18 （12 分）已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点 （1）求该椭圆的标准方程；（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方程。19 （12 分）已知 aR，命题 p：x2，1，x 2 a0，命题 q： （1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）若命题“pq
5、”为真命题，命题“pq”为假命题，求实数 a 的取值范围20 （12 分）已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦点.(I)求双曲线的标准方程.(II)若点 M 在双曲线上, 是双曲线的左、右焦点,且|MF 1|+|MF2|= 试判断 的形12F63， 12MF状.21 （12 分）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 2xyCab： 0,ab24（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点 P（2,1）作弦且弦被 P 平分，则此弦所在的直线方程.422 （12 分）如图，已知圆 ： 经过椭圆 （ ）的右焦点及上顶点 ，过椭圆外一点 （ ）且斜率为 的直线交于椭圆 、 两点.
6、（1）求椭圆的方程；（2）若 ，求 的值.参考答案1A【解析】【分析】“a1”“ ”， “ ”“a1 或 a0” ，由此能求出结果【详解】aR，则“a1”“ ”，“ ”“a1 或 a0” ，“a1”是“ ”的充分非必要条件故选：A【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件2A【解析】分析：根据椭圆的定义，得到
7、，即 ，再根据 ，即可求得短轴的长详解：由题意，椭圆满足 ，由椭圆的定义可得 ，解得 ，又 ，解得 ，所以椭圆的短轴为 ，故选 A点睛：本题主要考查了椭圆的几何性质，其中熟记椭圆的定义是解答的关键，着重考查了推理与论证能力3D【解析】【分析】先设出所求双曲线的方程，利用已知双曲线的渐近线求得 和 的关系，然后把点 代入双曲线方程求得 ，进而求得 ，则双曲线的方程可得【详解】依题意可知所求双曲线的焦点在轴，设出双曲线的方程为 根据已知曲线方程可知其渐近线方程为 把点 代入得 中求得 ，双曲线的方程为： ，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程与渐近线方程的关系，考查基本的运算能力4A【解
8、析】由题意得直线 = 恒过定点 ,而点 在椭圆 = 的内部,所以直线与椭圆相交.选 A5A【解析】【分析】先求得方程表双曲线的充要条件，只要是他的真子集就是充分不必要条件。【详解】方程 表示双曲线的充要条件是 ，解得 ，所以根据四个选项可知，充分不必要条件是 A.选 A.【点睛】对于充分性必要性条件的判断三种常用方法：（1）利用定义判断如果已知 ，则 是的充分条件， 是 的必要条件；（2）利用等价命题判断；(3) 把充要条件“直观化” ，如果 ，可认为 是 的“子集” ；如果 ，可认为 不是 的“子集” ，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明6C【解析】【分析】先根据椭圆的定义求出 的长度
9、，再利用中位线定理求出|OM|的长度.【详解】由椭圆的定义得因为 ,所以故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查椭圆的定义和中位线的性质定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2)在圆锥曲线里，看到焦半径就要联想到椭圆的定义解题,这是一个一般的规律.7D【解析】【分析】根据四种命题的关系进行判断【详解】命题 的逆否命题为 ，正确；命题 的否定是 ，正确；命题“ ， ”是假命题，正确.命题 ，命题 ，p 是真命题，则 为真命题，正确因此 4 个命题均正确故选 D【点睛】本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断，同指数函数的性质判断，由或命题的真值表判断，是解此类
10、题的一般方法，本题属于基础题8C【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出 、 ，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线 的一条渐近线方程是 ，可得 ，它的一个焦点坐标为 ，可得 ，即 ，解得 ，所求双曲线方程为： .故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.9C【解析】【分析】由题意可知命题 p,q 均为真命题，据此求解实数 a 的取值范围即可.【详解】由“ ”是真命题可知命题 p,q 均为真命题，若命题 p 为真命题，则： ，解得： ，若命题 q 为真命题，则： ，即 ，综上可得，实数 a 的取值范围是 ，表示为区间形式即
11、 .本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查复合命题问题，与二次函数有关的命题，与指数函数有关命题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10D【解析】 顶点 在椭圆 上，A2167xy8CBa643AB故选 D11A【解析】【分析】由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出 a、 c 的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率.【详解】由题意知： ，因为等腰三角形的顶角为 ，所以根据三角形的性质可求出 ，由双曲线定义可得： ，由离心率公式可得： .故选 A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根
12、据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得 a、 c 的齐次式，等号两侧同时除以 a 或 等，构造离心率.12A【解析】设直线的参数方程为 ,代入椭圆方程并化简得 ,所以,由于 ,即 ,代入上述韦达定理,化简得,即 .故选 .【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线方程的设法,考查直线参数方程参数的几何意义.由于本题直线过焦点 ,而且知道它的倾斜角为 ,在这里可以考虑设直线方程的点斜式,也可以考虑设直线的参数方程,考虑到 ,即 ,所以采用直线参数方程,利用参数的几何意义,可以快速建立方程,求出结果.13 ，【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出其否定命题【详解】特称命题
13、的否定是全称命题命题“ ， ”的否定是“ ， ”故答案为 ， .【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词；二是要否定结论，而一般的命题的否定只需直接否定结论即可.14【解析】分析：由题设条件知 ，又由 ，则 ，从而即可得到 ，由此可知所求椭圆方程.详解：由题设条件知 ，又由 ，则 ，所求椭圆方程为 .故答案为： .点睛：本题给出椭圆 G 满足的条件，求椭圆 G 的标准方程，着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于基础题.15【解析】【分析
14、】根据双曲线的渐近线与直线 垂直可得 ，然后根据离心率的定义求解即可【详解】由已知有双曲线渐近线的方程为 ，双曲线的一条渐近线与直线 垂直 ， ，离心率 【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式，利用 和 转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围1614【解析】如图所示设椭圆的左焦点为 F，|AF|=4=|AF|，则|PF|+|PF|=2a=6，|PA|PF|AF|，APF 的周长=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6|PF|4+6+4=14，当且仅当三点A，F，P 共线时取等号APF 的周长最
15、大值等于 14故答案为：14.17 （1） ；（2） 或1952yx14892yx2194x【解析】试题分析：（1）由于椭圆的焦点在 轴上，设所求椭圆的方程为x（ ） 由题意，得出关于 的方程组即可解得 ，结合2xyab0aac,ac,求出 值，写出椭圆的方程即可； （2）当焦点在 轴上时，设所求双曲线的22bacb x方程为 得出关于 的方程组即可解得 ，写出双曲线的方程即可；同理21xyab,ab,可求当焦点在 轴上双曲线的方程试题解析：（1）焦点在 轴上，设所求设所求椭圆的方程为 （ ） ，x21xyab0a焦距为 2c由题意，得 解得 410,5a4ac， 2269bc所以所求椭圆方程
16、为 152yx（2）当焦点在 轴上时，设所求双曲线的方程为 ，由题意，得 ，解x21xyab263ab得 932ab，所以焦点在 轴上的双曲线的方程为 x14892yx同理可求当焦点在 轴上双曲线的方程为 y2yx考点：1.双曲线的简单性质；2.双曲线的标准方程【方法点睛】求圆锥曲线方程的常用方法主要有两种：一是定义法；二是待定系数法。待定系数法的实质是方程思想的体现，即在确定了圆锥曲线类型的前提下设出方程，利用题中的条件将待定量与已知量统一在方程关系中求解。其整个思维过程可概括为三步（1）先定性（何种圆锥曲线） ；（2）后定形（哪种形式的方程） ；（3）再定参（建立方程解）.18 （1） （
17、2）【解析】试题分析：（1）由左焦点为 ，右顶点为 D（2，0） ，得到椭圆的半长轴a，半焦距 c，再求得半短轴 b，最后由椭圆的焦点在 x 轴上求得方程；（2）首先设所求点为 M（x,y） ，借助于中点性质得到 P 点坐标用 x,y 表示，将 P 点代入椭圆方程从而得到中点 的轨迹方程试题解析：（1）由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= ,则半短轴 b=1又椭圆的焦点在 x 轴上, 椭圆的标准方程为（2）设线段 PA 的中点为 M（x,y）,点 P 的坐标是（x 0,y0）,由点 P 在椭圆上,得 ,线段 PA 中点 M 的轨迹方程是考点：1圆锥曲线的轨迹问题；2椭圆的标准方程19 （
18、1） ；（2）【解析】【分析】（1）令 f(x)x 2a，可将问题转化为“当 时， ”，故求出 即可 （2）根据“pq”为真命题，命题“pq”为假命题可得 p 与 q 一真一假，然后分类讨论可得所求的结果【详解】(1)令 ，根据题意， “命题 p 为真命题”等价于“当 时， ” ， ，解得 .实数 的取值范围为 (2)由(1)可知，当命题 p 为真命题时，实数 满足 当命题 q 为真命题，即方程有实数根时，则有 4a 24(2a)0，解得 或 命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，命题 p 与 q 一真一假当命题 p 为真，命题 q 为假时，得 ，解得 ；当命题 p 为假，命题 q 为真
19、时，得 ，解得 综上可得 或 实数 的取值范围为 【点睛】根据命题的真假求参数的取值范围的方法(1)求出当命题 p， q 为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题 p， q 的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围20(1) (2) 是钝角三角形213xy12MF【解析】试题分析： 设双曲线方程为 ,由已知得 ，由此能求21xyab2941 5ab出双曲线的标准方程；不妨设点 在双曲线的右支上，则 ,利用 ，2M123MF1263MF求出 ， 的值，再由余弦定理可得 ,即可得1F2 12048cos5出结论。解析：(1)椭圆方程可化为 ,焦点在 轴
20、上,且 2194xyx94.c故可设双曲线方程为 , 2 (0,)abb则有 2941 5ab解得 ， 23,故双曲线的标准方程为 . 21xy(2)不妨设 在双曲线的右支上 ,M则有|MF 1|-|MF2|= 又|MF 1|+|MF2|= ,363解得 4,5FFc因此在 中, 边最长, 121由余弦定理可得. 12048cos35MF所以 为钝角,故 是钝角三角形.2112F21(1) (2) 64xy40xy【解析】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出 a，b，c 即可；（2）设直线斜率为 k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出 k 的值，从而求
21、出直线方程试题解析：（1） ，2b=4，所以 a=4，b=2，c= ，椭圆标准方程为c3ea2232164xy（2）设以点 为中点的弦与椭圆交于 ，则,1P12,AxyB，分别代入椭圆的方程，两式相减得124xy，所以 ，所以2112120xy1212480xy，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为 ，即12yk x240xy点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦 AB 所在直线方程的斜率 k,方法一利用点差法，列出有关弦 AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率 k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.22 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由圆的方
22、程可得 ， ，从而 ， ，可得 ，故得椭圆的方程；（2）由题意得直线的方程为 （ ） ，代入椭圆方程消去y 可得 ，然后设 ， ，将 用点 C,D 的坐标表示，再根据根与系数的关系得到关于 的方程，解方程可得 的值。试题解析：（1）在圆方程 中，令 ，得 或 2；令 ，得 或 2。又圆 经过椭圆的右焦点及上顶点 ， ， ， ， ， ，椭圆的方程为 .（2）由题意得直线的方程为 （ ）.由 消去得 .直线线交于椭圆 、 两点， ，解得 .又 ， ，设 ， ，则 ， . ，又 ， ，解得 或 .又 ， .点睛：解决直线和圆锥曲线位置关系问题的注意点：（1）根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论；（2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单；（3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视。
