1、16.3 与圆有关的计算过关演练 (30 分钟 75 分)1.(2018湖北天门) 一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是 (B)A.120 B.180 C.240 D.300【解析】设母线长为 R,底面半径为 r, 底面周长 =2 r,底面积 = r2,侧面积 = rR, 侧面积是底面积的 2 倍, 2 r2= rR,R= 2r,设圆心角为 n,则 =2 r= R,解得 n=180.1802.如图, PA,PB 是 O 的切线,切点分别为 A,B.若 OA=2, P=60,则劣弧 的长为 (C)A. B. C. D.23 43 53【解析】 PA ,PB 是
2、O 的切线, OA AP,OB BP, AOB=360- OAP- OBP- P=360-90-90-60=120, 劣弧 的长为 . 1202180=433.在矩形 ABCD 中, AB=16,如图所示裁出一扇形 ABE,将扇形围成一个圆锥( AB 和 AE 重合),则此圆锥的底面圆半径为 (A)A.4 B.16C.4 D.822【解析】由题意知 的长为 =8,即围成的圆锥的底面圆的周长为 8,则底面圆 9016180的半径为 =4.824.(2018四川资阳) 如图, ABCDEF 为 O 的内接正六边形, AB=a,则图中阴影部分的面积是(B)A. a2 B. a26 (6- 34)C.
3、 a2 D. a234 (3- 34)【解析】 正六边形的边长为 a, O 的半径为 a, O 的面积为 a2= a2, 空白正六边形为六个边长为 a 的正三角形, 每个三角形面积为 aasin 60= a2, 正六12 34边形面积为 a2, 阴影面积为 a2.332 (2-3322)16=(6- 34)5.如图,在 Rt ABC 中, A=90,BC=2 ,以 BC 的中点 O 为圆心分别与 AB,AC 相切于 D,E2两点,则 的长为 (B)A. B.4 2C. D.2【解析】连接 OD,OE,设半径为 r. O 分别与 AB,AC 相切于 D,E 两点,OE AC,OD AB, DOE
4、=90,OD AC, 点 O 是 BC 的中点, OD 是 ABC 的中位线,OD= AC,AC= 2r,同理可得 AB=2r,AB=AC , B=45,BC= 2 ,由勾股定理可得12 2AB=2,r= 1, 的长为 . 901180=26.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是 (A)A.正三角形 B.正方形C.正五边形 D.正六边形3【解析】正三角形的中心角的度数为 3603=120,正方形的中心角的度数为 3604=90,正五边形的中心角的度数为 3605=72,正六边形的中心角的度数为 3606=60.7.如图,在 Rt AOB 中, AOB=90,OA=3,OB=2
5、,将 Rt AOB 绕点 O 顺时针旋转 90后得Rt FOE,将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90后得线段 ED,分别以 O,E 为圆心, OA,ED 长为半径画弧 AF 和弧 DF,连接 AD,则图中阴影部分面积是 (A)A.8- B.54C.3+ D.【解析】作 DH AE 于点 H, AOB=90,OA=3,OB=2,AB= ,由旋转的性2+2=13质可知 OE=OB=2,DE=EF=AB= , OFE+ FEO= OED+ FEO=90, OFE= OED, 13DHE EOF,DH=OE= 2,阴影部分面积 = ADE 的面积 + EOF 的面积 +扇形 AOF 的面积 -扇形
6、DEF 的面积 = 52+ 23+ =8- .12 12 903236090(13)23608.(2018合肥模拟) 如图,在圆心角为 45的扇形内有一正方形 CDEF,其中点 C,D 在半径OA 上,点 F 在半径 OB 上,点 E 在 上,则扇形与正方形的面积比是 (B)A.3 8 B.5 8C. 4 D. 43 5【解析】连接 OE,设正方形 CDEF 的边长为 x,O D=2x,OE= x,S 正方形 =x2,S 扇 =5 x2,S 扇 S 正方形 =5 8.45(5)2360 =589.如图,正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆,则 B,E 两点间的距离为 8 . 【解析】
7、连接 BE,AE, 六边形 ABCDEF 是正六边形, BAF= AFE=120,FA=FE, FAE= FEA=30, BAE=90,BE 是正六边形 ABCDEF 的外接圆的直径, 正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆, BE= 8,即 B,E 两点间的距离为 8.410.如图,在 ABC 中, ACB=90, A=60,AB=2 ,将 ABC 沿直线 CB 向右作无滑动滚动3一次,则点 C 经过的路径长是 . 52【解析】 ACB=90, A=60,AB=2 , ABC=30,BC=3,由旋转得 ABC3ABC, CBA=30, CBC=150, 点 C 经过的路径长为 .15
8、03180=5211.如图,点 B,C 把 分成三等分, ED 是 O 的切线,过点 B,C 分别作半径的垂线段,已知 E=45,半径 OD=1,则图中阴影部分的面积是 . 8【解析】 ED 是 O 的切线, EDO=90, E=45, EOD=45,又 点 B,C 把 分成三等分, AOB= BOC= COD=45,S 阴影 = OD2-2 11-14 122222+12.452360=412+128=812.如图,以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 是小圆的切线,点 P 为切点,AB=12 ,OP=6,则劣弧 的长为 8 .(结果保留 ) 3【解析】连接 OA,OB. 大圆的弦
9、 AB 是小圆的切线, OP AB,根据垂径定理,得 BP= AB=612.在 Rt OBP 中, OB= =12,tan 3 2+2=62+(63)2 POB= , POB=60.OA=OB ,OP AB, AOB=2 POB=120, 劣弧=636=3的长为 =8 . 12012180513.(2018四川宜宾) 刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在九章算术中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆 O 的半径为 1,若用圆 O 的外切正六边形的面积来近似估计圆 O 的面积,则 S= 2 .(结果保留根号) 3【解析】依照题意画出图象,如图所示 . 六边形
10、 ABCDEF 为正六边形, ABO 为等边三角形, O 的半径为 1,OM= 1,BM=AM= ,AB= ,S= 6S ABO=6 1=2 .33 233 12233 314.(8 分) (2018浙江湖州) 如图,已知 AB 是 O 的直径, C,D 是 O 上的点, OC BD,交 AD于点 E,连接 BC.(1)求证: AE=ED;(2)若 AB=10, CBD=36,求 的长 .解:(1) AB 是 O 的直径, ADB=90,OC BD, AEO= ADB=90,即 OC AD,AE=ED.(2)OC AD, ,= ABC= CBD=36, AOC=2 ABC=236=72, =2
11、 .=72518015.(10 分) (2018江西) 图 1 是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关 .图 2 是其俯视简化示意图,已知轨道 AB=120 cm,两扇活页门的宽 OC=OB=60 cm,点 B 固定,当点 C 在 AB 上左右运动时, OC 与 OB的长度不变 .(1)若 OBC=50,求 AC 的长;(2)当点 C 从点 A 向右运动 60 cm 时,求点 O 在此过程中运动的路径长 .(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 500 .77,cos 500 .64,tan 501 .19, 取 3.14)解
12、:(1)作 OH BC 于点 H,OB=OC ,BH=CH ,在 Rt OBH 中, cos OBH= ,6BH= 60cos 50=600.64=38.4,BC= 2BH=238.4=76.8,AC=AB-BC= 120-76.8=43.2(cm).(2)OB=OC= 60,BC=60, OBC 为等边三角形, OBC=60, 当点 C 从点 A 向右运动 60 cm 时,点 O 在此过程中运动路径是以 B 点为圆心, BO 为半径,圆心角为 60的弧, 点 O 在此过程中运动的路径长为 =2062 .8(cm).6060180名师预测1.如图,用个半径为 5 cm 的定滑轮带动重物上升,滑
13、轮上一点 P 旋转了 108,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了 (C)A. cm B.2 cm C.3 cm D.5 cm【解析】当滑轮上一点 P 旋转了 108时,重物上升的距离就是点 P 旋转的弧长,即为=3(cm) .10851802.如图,正方形 ABCD 内接于 O, O 的半径为 2,以点 A 为圆心,以 AC 长为半径画弧交 AB 的延长线于点 E,交 AD 的延长线于点 F,则图中阴影部分的面积为 (A)A.4 -4 B.4 -8 C.8 -4 D.8 -8【解析】利用对称性可知:阴影部分的面积 =扇形 AEF 的面积 - ABD 的面积= 42=4 -4.
14、9042360123.已知圆的半径是 2 ,则该圆的内接正六边形的面积是 (C)3A.3 B.93 3C.18 D.363 37【解析】如图,圆 O 的内接正六边形为 ABCDEF,圆 O 的半径为 2 .连接 OA,OB,过点 O 作3OG AB,垂足为 G.OA=OB= 2 , AOB= =60, AOB 是等边三角形,33606AB= 2 .OG AB,AG= AB= .在 Rt AOG 中,根据勾股定理,得 OG=312 3=3,S AOB= ABOG= 2 3=3 .S 六边形2-2=(23)2-(3)2=912 12 3 3ABCDEF=6S AOB=63 =18 .3 34.如图
15、,在平行四边形 ABCD 中, ABAD, D=30,CD=4,以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 E,则阴影部分的面积为 . 433【解析】连接 OE,AE,AB 是 O 的直径, AEB=90, 四边形 ABCD 是平行四边形,AB=CD= 4, B= D=30,AE= AB=2,BE= =2 ,OA=OB=OE , B= OEB=30,12 42-22 3 BOE=120,S 阴影 =S 扇形 OBE-S BOE= AEBE= 22120223601212 4314.3=4335.如图,边长为 1 的菱形 ABCD 的两个顶点 B,C 恰好落在扇形 AEF 的 上 .若 BAD=12
16、0,则的长度等于 .(结果保留 ) 3【解析】连接 AC, 四边形 ABCD 是菱形, BAD=120, ABC=60,AB=BC , ABC 为等边三角形, BAC=60, 的长度为 . 601180=36.如图,正方形 ABCD 内接于 O,M 为 的中点,连接 BM,CM.(1)求证: BM=CM;(2)当 O 的半径为 2 时,求 的长 .8解:(1) 四边形 ABCD 是正方形, AB=CD , ,=M 为 的中点, , ,BM=CM. = =(2)连接 OM,OB,OC. ,= BOM= COM, 正方形 ABCD 内接于 O, BOC= =90, BOM=135.3604由弧长公
17、式得 的长为 . 1352180 =327.如图,在 ABC 中, AB=AC,以 AB 为直径的 O 分别与 BC,AC 交于点 D,E,过点 D 作 DF AC于点 F.(1)若 O 的半径为 3, CDF=15,求阴影部分的面积;(2)求证: DF 是 O 的切线;(3)求证: EDF= DAC.解:(1)连接 OE,过点 O 作 OM AC 于点 M,则 AMO=90,DF AC, DFC=90, FDC=15, C=180-90-15=75,AB=AC , ABC= C=75, BAC=180- ABC- C=30,OM= OA= 3= ,AM= OM= ,12 12 32 3 33
18、2OA=OE ,OM AC,AE= 2AM=3 ,3 BAC= AEO=30, AOE=180-30-30=120,S 阴影 =S 扇形 AOE-S AOE= 3 =3 - .1203236012 332 934(2)连接 OD,AB=AC ,OB=OD, ABC= C, ABC= ODB, ODB= C,AC OD,DF AC,DF OD,OD 是 O 的半径, DF 是 O 的切线 .(3)连接 BE,AB 为 O 的直径, AEB=90,BE AC,DF AC,BE DF, FDC= EBC, EBC= DAC, FDC= DAC,9A ,B,D,E 四点共圆, DEF= ABC, AB
19、C= C, DEC= C,DF AC, EDF= FDC, EDF= DAC.8.如图, AB 为 O 的直径,且 AB=4,点 C 在半圆上, OC AB,垂足为 O,P 为半圆上任意一点,过点 P 作 PE OC 于点 E,设 OPE 的内心为 M,连接 OM,PM.(1)求 OMP 的度数;(2)当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时,求内心 M 所经过的路径长 .解:(1) OPE 的内心为 M, MOP= MOC, MPO= MPE, PMO=180- MPO- MOP=180- ( EOP+ OPE),12PE OC,即 PEO=90, OMP=180- ( EOP+ OPE
20、)=180- (180-90)=135.12 12(2)如图, OP=OC ,OM=OM, MOP= MOC, OPM OCM, CMO= PMO=135, 点 M 在以 OC 为弦,并且所对的圆周角为 135的两段劣弧上( ).和 当点 M 在扇形 BOC 内时,过 C,M,O 三点作 O,连 OC,OO,在优弧 CO 上取点 D,连接 DC,DO, CMO=135, CDO=180-135=45, COO=90,又 OA= 2 cm,OO= OC= 2= ,22 22 2 弧 OMC 的长 = (cm),902180=22同理:点 M 在扇形 AOC 内时,同 的方法得,弧 ONC 的长为 cm,22所以内心 M 所经过的路径长为 2 = cm .22 210
