1、- 1 -安徽师范大学附属中学 2017-2018 学年度第二学期期中考查高二数学试题（理）一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数 的虚部是（ ）1-2+iA B C D5i1515i-15-2下列求导运算正确的是（ ）A B C D(cos)inx1(ln2)x3()logxe2xe3. 函数 在点 处的切线方程为 ，则 等()y=f0,)xy21y=x+00()2)limxffx于（ ）A. 4 B. 2 C. 2 D. 44由曲线 以及 所围成的图形的面积等于（ ）,xxye-=1=A2 B C D2-2
2、e-12e+-5直线 是曲线 的一条切线，则实数 的值为（ ）1yxb=+lnyx=bA2 Bln2+1 Cln21 Dln26用数学归纳法证明“ ”时，由 不等式成立，推证1123nL(1)nk时，左边应增加的项数是（ ）1nkA. B. C. D. 21kk21k- 2 -7已知 有下列各式：(0,)x+22144, 3,xx+=+成立，观察上面各式，按此规律若 则正数 =（ 332274,x= 45,axa）A4 B5 C4 4 D5 58设函数 在 R 上可导，其导函数 ，且函数 在 处取得极小值，则函()fx()fx()fx2=-数 的图象可能是（ ）y=A B C D9若 则（ ）
3、ln3l5ln6,aba=A B C Dc13+13272+L125+L能得到一个怎样的一般不等式？并请加以证明19（本小题满分 8 分）（1）已知 且 ，求证： 中至少有一个小于 2；0,ab2a+1+,ba（2）已知 求证： 1,-20. （本小题满分 8 分）已知函数 .()3lnafxx（1）当 时，求 的最小值；2a()fx（2）若 在 上为单调函数，求实数 的取值范围.()fx1,ea21（本小题满分 8 分）已知函数,xeafR.- 5 -（1）若 fx在定义域内无极值点，求实数 a的取值范围；（2）求证：当 1,0ax时， 1fx恒成立.22（本小题满分 12 分）已知函数 (
4、)ln1)fx（1）求函数 的最小值；（2）设 ，讨论函数 的单调性；2()()FxafxR()Fx（3） 若斜率为 的直线与曲线 交于 两点，求证：k()yf12,(,)AyB、.12x- 6 -高二数学（理）参考答案：BBDDC CCABB BA13. 14. B 15. 16. (1) (2)(3)(4)10617.解（1）因为 ，所以 ；.1 分32fb1b又 ，2 分1lnlnfxaxax 而函数 在 处的切线方程为 ，l3fb,f 2y所以 ，所以 ；3 分10a a（2）由（1）得 ， ，ln3fx1fx当 时， ； 当 时， ；000f所以 在 上单调递增， 在 上单调递减，6
5、 分fx,1fx1,所以 有极大值 ,无极小值8 分2f18.解：根据给出的几个不等式可以猜想第 n 个不等式，即一般不等式为： .2分用数学归纳法证明如下：当 n=1 时，1 ，猜想正确假设 n=k 时猜想成立，即 ，则 n=k+1 时，= = ，- 7 -即当 n=k+1 时，猜想也成立，所以对任意的 nN +，不等式成立8 分19证明：（1）假设 都不小于 2，则 ，a0，b0，1+b2a，1+a2b，两式相加得：2+a+b2（a+b），解得 a+b2，这与已知 a+b2 矛盾，故假设不成立， 中至少有一个小于 24 分（2） 1，a0，0b1，要证 ，只需证 1，只需证 1+abab1
6、，只需证 abab0，即 1即 1这是已知条件，所以原不等式成立.8 分20.解：（1）当 时， ， . 2a2()3lnfxx223()xf 令 ，得 或 （舍）.()0fx1(0)， 2 (2+)，()f - 0 +x 极小值 ()f又当 时， ，2()=(2)53lnfxf极 小当 时，函数 的最小值为 .3 分afl2（2） ， ，又 在 上为单调函数，当()3lnafxx23()axf()fx1,e时， 或 恒成立， 1,xe0f()f也就是 或 对 恒成立，23ax230ax1,xe即 或 对 恒成立.2121,e令 ，则 .当 时， . 在 上单调递减，23()xG23()x1,
7、xe()0Gx()x1,e- 8 -又当 时， ；当 时，1x()Gxxe，8 分23()eG ，故 在 上为单调函数时，实数 的取值范围为 .21ae()fx1,ea23,1e21.解：（1）由题意知21xf，令 1,0xgeax，则 xge，当 0时， ,()在 ,上单调递减， 当 x时， 0,xg在 ,上单调递增，又 01a， f在定义域内无极值点， 1a 又当 时， fx在 ,0和 ,上都单调递增也满足题意，所以 1a 4 分（2）21xeaf，令 1xgea，由（1）可知 gx在 0,上单调递増，又 01ga，所以 fx存在唯一的零点 0,1x，故 fx在 0,上单调递减，在0,x上
8、单调递増， 0ffx由 010xea知 01xfe即当 1,0ax时， 1fx恒成立. 8 分 2:(1)ln2(),(,.fxfxe2.解 令 得 . 2 210,)0;,)()0xf fe当 时 ， 当 时 ，则 221(),(+)f e在 上 递 减 ， 在 ， 上 递 增- 9 -3 分.1)(ln1)(,122min2 eexfex 时当.4 分 ).0()(,l)(2 xaxFaF 时，恒有 ， 在 上是增函数； 0当 0x),( 时, a当;210,12,)( axa 解 得即令;,012,0)(xxF 解 得即令综上，当 时， 在 上是增函数； .5 分 a)(F),时， 在 上单调递增，在 上单调递减6 分 0当 )(x21,0a),21(a（3）221 1ln.xffk211212:,:.lx要 证 即 证， ln: 12121xtx令等 价 于则只要证: ，由t,0lntt知故等价于证: (*) .8 分 ln1l()t ()(),gt设0(,),tgt则 在 上 是 增 函 数 01ln)(1，t时当10 分 .lnt ()(),()l(1),hthtt设 则- 10 -()1,ht在 上 是 增 函 数 ,0)1(ln)(htt时当ln,t由知（*）成立， .12 分.12xk
