1、13.三角函数、解三角形、平面向量1 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在的射线上) 2 k( kZ)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角， P(x， y)是 的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是 r 0，那么 sin ，cos ，tan (x0)，x2 y2yr xr yx三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关问题 1 已知角 的终边经过点 P(3，4)，则 sin cos 的值为_答案 152同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin 2 cos 2 1.(2)商数关系：tan .sin
2、 cos (3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限角 2 2正弦 sin sin sin sin cos 2 余弦 cos cos cos cos sin 问题 2 cos tan sin 21 的值为94 ( 76)_答案 22 3333正弦、余弦和正切函数的常用性质函数 ysin x ycos x ytan x图象定义域 R R x|x k， kZ 2值域 y|1 y1 y|1 y1 R单调性在Error! ， kZ 上递增；在Error! ， kZ 上递减在(2 k1)，2 k， kZ 上递增；在2k，(2 k1)，kZ 上递减在Error! ， kZ 上递增最值x 2 k( kZ
3、)时， 2ymax1； x 2 k( k 2Z)时， ymin1 x2 k( kZ)时，ymax1； x2 k( kZ)时，ymin1无最值奇偶性 奇 偶 奇对称中心：( k，0)，kZ对称中心：(k 2， 0)， kZ对称中心： (k2， 0)， kZ对称性对称轴：x k ， kZ 2 对称轴：x k， kZ 无周期性 2 2 问题 3 函数 ysin 的单调减区间是_( 2x 3)答案 (kZ)k 12， k 5124三角函数化简与求值的常用技巧4解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值常用到切化弦、降幂、拆角拼角等技巧如： ( ) ，2 (
4、 )( )， ( )( )12 ( ) ， . 4 ( 4) ( 4) 4问题 4 已知 ， ，sin( ) ，sin ，则(34， ) 35 ( 4) 1213cos _.( 4)答案 56655解三角形(1)正弦定理： 2 R(R 为三角形外接圆的半径)注意：正弦定理的asin A bsin B csin C一些变式：() a b csin Asin Bsin C；()sin A ，sin B ，sin a2R b2RC ；() a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C；() 2 R.c2R a b csin A sin B sin C已知三角形两边及一对角，求解三角
5、形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍在 ABC 中， ABsin Asin B.(2)余弦定理： a2 b2 c22 bccos A，cos A 等，常选用余弦定理判定三角形b2 c2 a22bc的形状问题 5 在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， a ， b ， A60，则3 2B_.答案 456求三角函数最值的常见类型、方法(1)y asin x b(或 acos x b)型，利用三角函数的值域，须注意对字母 a 的讨论(2)y asin x bsin x 型，借助辅助角公式化成 y sin(x )的形式，再利用a2 b2三角函
6、数有界性解决(3)y asin2x bsin x c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x|1 的约束(4)y 型，反解出 sin x，化归为|sin x|1 解决asin x bcsin x d(5)y 型，化归为 Asin x Bcos x C 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何asin x bccos x d5意义)求解(6)y a(sin xcos x) bsin xcos x c 型，常令 tsin xcos x，换元后求解(|t| )2问题 6 函数 ysin 2xsin x1 的值域为_答案 54， 1解析 y 2 ，又 sin x1,1，(sin x12) 5
7、4当 sin x 时， ymin ；12 54当 sin x1 时， ymax1.函数的值域为 .54， 17向量的平行与平面向量的数量积(1)向量平行(共线)的充要条件： a b(b0) a b(ab)2(| a|b|)2x1y2 y1x20.(2)ab| a|b|cos ，变形：| a|2 a2 aa，cos .ab|a|b|注意： a， b为锐角 ab0 且 a， b 不同向； a， b为钝角 ab1，tan tan 4 a0，tan ，tan 是方程 x24 ax3 a10 的两个负根8又 ， ，( 2， 2) ， ，即 .( 2， 0) 2 ( 2， 0)由 tan( )tan ta
8、n 1 tan tan ， 4a1 3a 1 43可得 tan 2. 2答案 2易错点 2 图象变换方向或变换量把握不准例 2 已知函数 f(x)sin ，为了得到函数 g(x)cos 2x 的图象，只要将 y f(x)(2x 4)的图象向_平移_个单位长度易错分析 (1)没有将 f(x)， g(x)化为同名函数；(2)平移时看 2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“ x”而言解析 g(x)sin sin ，(2x 2) 2(x 8) 4 y f(x)的图象向左平移 个单位长度即可得到 y g(x)的图象 8答案 左 8易错点 3 三角函数单调性理解不透例 3 求函数 y3sin 的单
9、调区间( 4 2x)易错分析 对形如 y Asin(x )或 y Acos(x )的函数，如果 a，得 a0，没有排除 0，即两向量同向的情况解析 由 为锐角，可得Error!Error! 的取值范围是Error!.答案 Error!1已知点 P 落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为(sin 34， cos 34)_答案 74解析 tan 1，cos 34sin 34 cos 4sin 411又 sin 0，cos 0)和 g(x)2cos(2 x )1 的图象的对称轴完全相( x 6)同若 x ，则 f(x)的取值范围是_0， 2答案 32， 3解析 由对称轴完全相同知，两函数周期相同
10、， 2， f(x)3sin .(2x 6)12由 x ，得 2 x ，0， 2 6 6 56 f(x)3.325在斜 ABC 中，若 tan C0，则 tan C 的最大值是_1tan A 1tan B答案 2 2解析 在斜 ABC 中， A B C， C( A B)，tan Ctan( A B)tan( A B) ，tan A tan B1 tan Atan B又 tan C0，1tan A 1tan Btan C ，(1tan A 1tan B) tan A tan Btan Atan B tan A tan Btan Atan B tan A tan B1 tan Atan Btan A
11、tan B1tan Atan B，tan Atan B ，12tan Atan B 0，tan A 与 tan B 同号，12又在 ABC 中，tan A0，tan B0，tan C2(tan Atan B)22 tan Atan B22 2 ，22 2当且仅当 tan Atan B 时“”成立，22tan C 的最大值为2 .26(2018苏州模拟)已知向量 a(1,2)， b(2，4)，| c| ，( a b)c ，则552a， c 的夹角大小为_答案 120解析 设 a 与 c 的夹角为 ， a(1,2)， b(2，4)，则 b2 a，( a b)c ac ，5213 ac ，52cos
12、 ，ac|a|c| 5255 120 180， 120.7已知 f1(x)sin cos x， f2(x)sin xsin( x)，若设 f(x) f1(x) f2(x)，(32 x)则 f(x)的单调增区间是_答案 (kZ)k ， k 2解析 由题意知， f1(x)cos 2x， f2(x)sin 2x，f(x)sin 2xcos 2xcos 2 x，令 2x2 k，2 k( kZ)，得 x (kZ)，k ， k 2故 f(x)的单调增区间为 (kZ)k ， k 28在 ABC 中， B60， AC ，则 AB2 BC 的最大值为_3答案 2 7解析 由正弦定理知， ，ABsin C 3si
13、n 60 BCsin A AB2sin C， BC2sin A.又 A C120， AB2 BC2sin C4sin(120 C)2(sin C2sin 120cos C2cos 120sin C)2(sin C cos Csin C)32(2sin C cos C)2 sin(C )，3 7其中 tan ， 是第一象限角，32由于 0C120，且 是第一象限角，因此 AB2 BC 有最大值 2 .79已知 tan( )1，tan( )2，则 的值为_sin 2cos 2答案 1解析 tan( )1，tan( )2，14sin 2cos 2 sin cos ，sin cos cos sin c
14、os cos sin sin 分式同除以 cos( )cos( )， 1.tan tan 1 tan tan 1 21 1210在平行四边形 ABCD 中， BAD60， AB1， AD ， P 为平行四边形内一点，且3AP ，若 ( ， R)，则 的最大值为_32 AP AB AD 3答案 1解析 ，AP AB AD | |2( )2，AP AB AD 即 2 2| |2 2| |22 .(32) AB AD AB AD 又 AB1， AD ， BAD60，3 | | |cos 60 ，AB AD AB AD 32 23 2 ，34 3( )2 2，334 3 34 ( 32 )( )21，
15、 的最大值为 1，3 3当且仅当 ， 时取等号12 3611已知函数 f(x)sin xcos xcos 2x .12(1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 x 时，求函数 f(x)的值域；0， 4(3)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)的解析 8式解 f(x)sin xcos xcos 2x12 sin 2x sin .12 1 cos 2x2 12 22 (2x 4)15(1)所以最小正周期 T .22(2)当 x 时，2 x ，sin ，0， 4 4 4， 34 (2x 4) 22， 1所以 f(x)的值域为 .12， 22(3)将函
16、数 f(x)的图象向右平移 个单位长度， 8得到 g(x) sin sin 2x.22 2(x 8) 4 2212在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 bsin A acos B.3(1)求角 B 的值；(2)若 cos Asin C ，求角 A 的值3 14解 (1)因为 ，所以 bsin A asin B，asin A bsin B又 bsin A acos B，3所以 acos B asin B，即 tan B ，3 3因为 B(0，)，所以 B . 3(2)因为 cos Asin C ，所以 cos Asin ，3 14 (23 A) 3 14cos A cos2A sin Acos A(32cos A 12sin A) 32 12 sin 2A cos 2A sin 2A sin ，32 1 cos 2A2 14 34 34 14 34 12 (2A 3) 3 14所以 sin ，因为 B ，所以 0A ，所以 2A ，(2A 3) 12 3 23 3 ( 3， 53)所以 2A ， A . 3 76 512
