1、1课时训练(二十三) 锐角三角函数(限时:30 分钟)|夯实基础|1.下列式子错误的是 ( )A.cos40=sin50B.tan15tan75=1C.sin225+cos225=1D.sin60=2sin302.2017湖州 如图 K23-1,已知在 Rt ABC 中, C=90,AB=5,BC=3,则 cosB 的值是 ( )图 K23-1A. B. C. D.35 45 34 433.2017宜昌 ABC 在网格中的位置如图 K23-2 所示(每个小正方形边长为 1),AD BC 于 D,下列选项中,错误的是( )图 K23-2A.sin= cos B.tanC=2 C.sin= cos
2、 D.tan= 14.2018金华、丽水 如图 K23-3,两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上,量得 ABC= , ADC= ,则竹竿 AB 与 AD 的长度2之比为 ( )图 K23-3A. B. C. D. 5.在 ABC 中,若 + cosB- 2=0,则 C 的度数是 ( )|-12| 12A.30 B.45 C.60 D.906.如图 K23-4 所示,在 ABC 中, A=45, B=30,CD AB,垂足为 D,CD=1,则 AB 的长为 ( )图 K23-4A.2 B.2 C. +1 D. +1333 37.如图 K23-5,直径为 10 的 A 经过点 C(0,5)
3、和点 O(0,0),B 是 y 轴右侧 A 优弧上一点,则 cos OBC 的值为 ( )图 K23-5A. B.12 323C. D.35 458.如图 K23-6,在直角三角形 BAD 中,延长斜边 BD 到点 C,使 DC= BD,连接 AC,若 tanB= ,则 tan CAD 的值为 ( )12 53图 K23-6A. B.33 35C. D.13 159.2017广州 如图 K23-7,Rt ABC 中, C=90,BC=15,tanA= ,则 AB= . 158图 K23-710.在 Rt ABC 中, C=90,AB=2BC,现给出下列结论:sin A= ;cos B= ; t
4、anA= ; tanB= .其中正确的结论32 12 33 3是 .(只需填上正确结论的序号) 11.2018湖州 如图 K23-8,已知菱形 ABCD,对角线 AC,BD 相交于点 O.若 tan BAC= ,AC=6,则 BD 的长是 . 13图 K23-812.如图 K23-9 所示,在 O 中,过直径 AB 延长线上的点 C 作 O 的一条切线,切点为 D,若 AC=7,AB=4,则 sinC 的值为 . 4图 K23-913.2017无锡 在如图 K23-10 的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形, A,B,C,D 都在格点处, AB 与 CD相交于 O,则 tan BO
5、D 的值等于 . 图 K23-1014.如图 K23-11 所示,在 Rt ABC 中, ABC=90, ACB=30,将 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 15后得到AB1C1,B1C1交 AC 于点 D,如果 AD=2 ,则 ABC 的周长等于 . 2图 K23-1115.如图 K23-12,在 Rt ABC 中, ACB=90,D 是 AB 的中点,过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E,若 BC=6,sinA= ,则35DE= . 图 K23-12516.2018无锡 已知 ABC 中, AB=10,AC=2 , B=30,则 ABC 的面积等于 . 717.如图 K23-13
6、,在 Rt ABC 中, ACB=90,AC=BC=3,点 D 在边 AC 上,且 AD=2CD,DE AB,垂足为点 E,连接 CE,求:(1)线段 BE 的长;(2) ECB 的正切值 .图 K23-13|拓展提升|18.2018南宁 如图 K23-14,矩形纸片 ABCD 中, AB=4,BC=3,点 P 在 BC 上,将 CDP 沿 DP 折叠,点 C 落在点 E 处,PE,DE分别交 AB 于点 O,F,且 OP=OF,则 cos ADF 的值为 ( )图 K23-146A. B. C. D.1113 1315 1517 171919.2018苏州 如图 K23-15,在 Rt AB
7、C 中, B=90,AB=2 ,BC= .将 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到5 5 ABC,连接 BC,则 sin ACB= . 图 K23-1520.如图 K23-16 所示,在正方形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,点 F 在边 BC 的延长线上,连接 EF 与边 CD 相交于点 G,连接BE 与对角线 AC 相交于点 H,AE=CF,BE=EG.(1)求证: EF AC;(2)求 BEF 的大小;(3)求证: = . 11+15图 K23-167参考答案1.D 解析 A 选项,sin50 =sin(90-40)=cos40,式子正确;8B 选项,构造 Rt ABC,
8、C=90, A=15, B=75,则 tan15tan75= =1,式子正确;C 选项,sin 225+cos225=1,式子正确;D 选项,sin60 = ,sin30= ,式子 sin60=2sin30错误 .故选 D.32 122.A 解析 在 Rt ABC 中,cos B= = = .邻边斜 边 353.C 解析 sin = cos= = ,tanC= =2,sin= cos(90- ),tan= =1,故选 C.22212 21 224.B 解析 由锐角三角函数的定义,得 AB= ,AD= , AB 与 AD 的长度之比为 ,故选 B. 5.D 6.D7.B 解析 设 A 与 x 轴
9、的另一交点为点 D,连接 CD,则 CD 为 A 的一条直径, OBC= ODC,故 cos OBC=cos ODC= = .102-5210 328.D 解析 过点 D 作 DE AB 交 AC 于点 E. BAD=90,DE AB. ADE=90.tan B= ,设 AD=5k,AB=3k.53 DE AB, = = ,DE= AB=k.13 13tan CAD= = = .故选 D.5159.17 解析 tan A= ,即 = , AC=8.根据勾股定理,得 AB= = =17. 158 15 2+2 82+15210. 解析 根据题意,因为 C=90,AB=2BC,所以该直角三角形是含
10、 30角的直角三角形,则BCABAC= 1 2 ,令 BC=1,AB=2,AC= ,作出图形,3 3sin A= = ,cos B= = , tanA= = , tanB= = ,则正确结论为 .12 12 33 3911.2 解析 菱形的对角线互相垂直平分, AC BD.tan BAC= , = . AC=6, AO=3.13 13 BO=1. BD=2BO=2.故填 2.12.2513.3 解析 如图,利用网格添加辅助线,使 EF CD,BG EF 于 H,则 tan BOD=tan BIH=3.14.6+2 解析 依题意 B1AD=45,AD=2 , AB1=AB=ADcos45=2 =
11、2. ACB=30, AC=2AB=22=4,3 2 222 BC= = =2 , ABC 的周长等于 2+4+2 =6+2 .2-2 42-22 3 3 315. 解析 在 Rt ABC 中 ,先求出 AB,AC,继而得出 AD,再由 ADE ACB,利用对应边成比例可求出 DE.154 BC=6,sinA= , AB=10,35 AC= =8.102-62 D 是 AB 的中点, AD= AB=5.12 ADE ACB, = ,即 = , 6 58解得 DE= .15416.15 或 10 解析 分两种情况求解:3 3(1)如图所示,作 AD BC 于点 D,10 AB=10, B=30,
12、 AD= AB= 10=5,12 12BD= = =5 .2-2 102-52 3在 Rt ADC 中, ADC=90,AD=5,AC=2 ,7 CD= = = .2-2 (27)2-52 3 BC=BD+CD=5 + =6 ,3 3 3 ABC 的面积为 BCAD= 6 5=15 .12 12 3 3(2)如图所示,作 AD BC 交 BC 的延长线于点 D,又 AB=10, B=30, AD= AB= 10=5,12 12BD= = =5 .2-2 102-52 3在 Rt ADC 中, ADC=90,AD=5,AC=2 ,7 CD= = = .2-2 (27)2-52 3 BC=BD-C
13、D=5 - =4 ,3 3 3 ABC 的面积为 BCAD= 4 5=10 .12 12 3 3综上所述, ABC 的面积等于 15 或 10 .3 317.解:(1) AD=2CD,AC=3, AD=2.在 Rt ABC 中, ACB=90,AC=BC=3, A= B=45,AB= = =3 .2+2 32+32 211 DE AB, AED=90, ADE= A=45, AE=ADcos45=2 = ,22 2 BE=AB-AE=3 - =2 ,2 2 2即线段 BE 的长为 2 .2(2)过点 E 作 EH BC,垂足为点 H,如图所示 .在 Rt BEH 中, EHB=90, B=45
14、, EH=BH=BEcos45=2 =2.222 BC=3, CH=1.在 Rt CHE 中,tan ECB= = =2.21即 ECB 的正切值为 2.18.C 解析 由题意得:Rt DCPRt DEP, DC=DE=4,CP=EP,在 Rt OEF 和 Rt OBP 中, EOF= BOP, E= B,OF=OP,Rt OEFRt OBP(AAS), OE=OB,EF=BP,设 EF 为 x,则 BP=x,DF=4-x,又 BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x, BF=3-x. AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x,在 Rt DAF 中, AF2+AD2=
15、DF2,即(1 +x)2+32=(4-x)2,解得 x= , EF= ,DF=4- = ,35 35 3517512在 Rt DAF 中,cos ADF= = .151719. 解析 过点 B作 BD AC 于 D,由旋转可知:45 BAB=90,AB=AB=2 ,5 ABD+ BAD= BAD+ CAB=90, ABD= CAB. AB=2 ,BC= , AC=5,5 5 AD=ABsin ABD=ABsin CAB=2 =2,555 CD=5-2=3,BD= =4,(25)2-22 BC=5,sin ACB= = .4520.解析 第(1)题利用平行四边形知识证明 EF AC;第(2)题需
16、要连接 BG,证明 BEG 是等边三角形;第(3)题,根据结论是比例式的形式,联想到需要寻找一对相似三角形进行证明 .由于 ABE=15,所以 =tan15,容易找到 ABHFBG.解:(1)证明:正方形 ABCD, AD BC,即 AE CF. AE=CF,四边形 AEFC 是平行四边形, EF AC.(2)如图,连接 BG.正方形 ABCD, BAC= ACB=45. EF AC, ACB= F=45. BCD=90, CGF=45.13 CGF= F, CG=CF.又 AE=CF, CG=AE. AB=CB, BAE= BCG=90, ABE CBG, BE=BG. BE=EG, BE=BG=EG, BEG 是等边三角形, BEF=60.(3)证明:由(2)得 AE=CG, DE=DG, DEG=45. AEB=75, ABE=15.由(2)得 ABH= FBG, BAH= BFG=45, ABH FBG. = ,即 = = = = , + + 11+ 11+15即 = . 11+15
