1、1课时训练(十九) 锐角三角函数及其应用(限时:45 分钟)|夯实基础 |1.2018柳州 如图 K19-1,在 Rt ABC中, C=90,BC=4,AC=3,则 sinB= = ( )ACAB图 K19-1A. B. C. D.35 45 37 342.2018金华 如图 K19-2,两根竹竿 AB和 AD斜靠在墙 CE上,量得 ABC= , ADC= ,则竹竿 AB与 AD的长度之比为 ( )图 K19-2A. B.tantan sinsinC. D.sinsin coscos3.2018宜昌 如图 K19-3,要测量小河两岸相对的两点 P,A的距离,可以在小河边取 PA的垂线 PB上一
2、点 C,测得PC=100米, PCA=35,则小河宽 PA等于 ( )2图 K19-3A.100sin35米 B.100sin55米C.100tan35米 D.100tan55米4.2018苏州 如图 K19-4,某海监船以 20海里 /时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至 A处时,测得岛屿 P恰好在其正北方向,继续向东航行 1小时到达 B处,测得岛屿 P在其北偏西 30方向,保持航向不变又航行2小时到达 C处,此时海监船与岛屿 P之间的距离(即 PC的长)为 ( )图 K19-4A.40海里 B.60海里C.20 海里 D.40 海里3 35.2018重庆 A卷 如图 K19
3、-5,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底面E处测得旗杆顶端的仰角 AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离 DE=7米,升旗台坡面 CD的坡度 i=1 0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面 CD的水平距离 BC=1米,则旗杆 AB的高度为(参考数据:sin580 .85,cos580 .53,tan581 .6)( )3图 K19-5A.12.6米 B.13.1米C.14.7米 D.16.3米6.2018滨州 在 ABC中, C=90,若 tanA= ,则 sinB= . 127.2018枣庄 如图 K19-6,某商店营业大厅自动扶梯 AB的倾斜角
4、为 31,AB的长为 12米,则大厅两层之间的高度为 米 .(精确到 0.1,参考数据:sin310 .515,cos310 .857,tan310 .601) 图 K19-68.2018葫芦岛 如图 K19-7,某景区的两个景点 A,B处于同一水平地面上,一架无人机在空中沿水平方向飞行进行航拍作业, MN与 AB在同一铅直平面内,当无人机飞行至 C处时,测得景点 A的俯角为 45,景点 B的俯角为 30,此时 C到地面的距离 CD为 100米,则两景点 A,B间的距离为 米(结果保留根号) . 图 K19-79.2018临沂 如图 K19-8,有一个三角形的钢架 ABC, A=30, C=4
5、5,AC=2( +1)m.请计算说明,工人师傅搬运3此钢架能否通过一个直径为 2.1 m的圆形门?图 K19-8410.2018长沙 为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对 A,B两地间的公路进行改建,如图 K19-9,A,B两地之间有一座山,汽车原来从 A地到 B地需途经 C地沿折线 ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线 AB行驶,已知 BC=80千米, A=45, B=30.(1)开通隧道前,汽车从 A地到 B地大约要走多少千米?(2)开通隧道后,汽车从 A地到 B地大约可以少走多少千米?(结果精确到 0.1千米)(参考数据: 1 .41, 1 .73)2 3图 K19-911.
6、2018徐州 如图 K19-10,1号楼在 2号楼的南侧, 两楼的高度均为 90 m,楼间距为 AB.冬至日正午,太阳光线与5水平面所成的角为 32.3,1号楼在 2号楼墙面上的影高为 CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为 55.7,1号楼在 2号楼墙面上的影高为 DA.已知 CD=42 m.(1)求楼间距 AB;(2)若 2号楼共有 30层,层高均为 3 m,则点 C位于第几层?(参考数据:sin32 .30 .53,cos32.30 .85,tan32.30 .63,sin55.70 .83,cos55.70 .56,tan55.71 .47)图 K19-10|拓展提升 |12.2
7、018娄底 如图 K19-11,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169,小正方形的面积是 49,则sin- cos= ( )6图 K19-11A. B.-513 513C. D.-713 71313.2018眉山 如图 K19-12,在边长为 1的小正方形网格中,点 A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上, AB,CD相交于点 O,则 tan AOD= . 图 K19-1214.2018泰安 如图 K19-13,在矩形 ABCD中, AB=6,BC=10,将矩形 ABCD沿 BE折叠,点 A落在 A处,若 EA的延长线恰好过点 C,则 sin ABE的值为 . 图 K19-131
8、5.2018赤峰 阅读下列材料:如图 K19-14,在 ABC中, BAC, B, C所对的边分别为 a,b,c,可以得到: S ABC= absinC= acsinB= bcsinA.12 12 12图 K19-14证明:过点 A作 AD BC,垂足为 D.在 Rt ABD中,sin B= ,ADc7AD=c sinB,S ABC= aAD= acsinB.12 12同理: S ABC= absinC,S ABC= bcsinA.12 12S ABC= absinC= acsinB= bcsinA.12 12 12(1)通过上述材料证明: = = ;asinA bsinB csinC(2)运
9、用(1)中的结论解决问题:如图 K19-15,在 ABC中, B=15, C=60,AB=20 ,求 AC的长度;3图 K19-15(3)如图 K19-16,为了开发公路旁的城市荒地,测量人员选择 A,B,C三个测量点,在 B点测得 A在北偏东 75方向上,沿笔直公路向正东方向行驶 18 km到达 C点,测得 A在北偏西 45方向上,根据以上信息,求 A,B,C三点围成的三角形的面积 .(本题参考数值:sin150 .3,sin1200 .9, 1 .4,结果取整数)2图 K19-1689参考答案1.A2.B 解析 在 Rt ABC中, AB= ,在 Rt ACD中, AD= ,ABAD= =
10、 ,故选 B.ACsin ACsin ACsin ACsin sinsin3.C 解析 在 Rt PCA中, APC=90,tan PCA= ,得到 PA=PCtan PCA=100tan35(米) .APPC4.D 解析 在 Rt PAB中, APB=30,PB= 2AB.由题意知BC=2AB,PB=BC , C= CPB. ABP= C+ CPB=60, C=30,PC= 2PA,PA=AB tan60,PC= 220 3=40 (海里),故选 D.35.B 解析 过点 C作 CN DE于点 N,延长 AB交 ED的延长线于点 M,则 BM DE于点 M,则 MN=BC=1米 . 斜坡 C
11、D的坡比 i=1 0.75, 令 CN=x,则 DN=0.75x.在 Rt CDN中,由勾股定理,得 x2+(0.75x)2=22,解得 x=1.6,从而DN=1.2米 .DE= 7米, ME=MN+ND+DE= 9.2米, AM=(AB+1.6)米 .在 Rt AME中,tan AEM= ,即 =tan58,从而AMEM AB+1.69.21 .6,解得 AB13 .1(米),故选 B.AB+1.69.26. 解析 根据 tanA= , C=90可设 BC=1,则 AC=2,AB= ,所以 sinB= = .255 12 5 252557.6.2 解析 在 Rt ABC中, ACB=90,B
12、C=AB sin BAC12 0.5156 .2(米) .8.(100+100 ) 解析 MN AB, A= MCA=45, B= NCB=30.CD= 100,AD= =100,DB= =1003CDtan45 CDtan30.AB=AD+DB= (100+100 )米 .3 39.解:过点 B作 BD AC,垂足为点 D.在 Rt ABD中, ABD=90- A=60,则 AD=tan ABDBD= BD.310在 Rt BCD中, C=45,CD=BD.AC=AD+CD= BD+BD=( +1)BD=2( +1),3 3 3解得: BD=2. 2 m2.1 m,故工人师傅搬运此钢架能通过
13、一个直径为 2.1 m的圆形门 .10.解:(1)过点 C作 CD AB于点 D.Rt BCD中, CD=BCsinB=40(千米),Rt ACD中, AC= =40 (千米), AC+BC=40 +80136 .4(千米) .CDsinA 2 2答:开通隧道前,汽车从 A地到 B地大约要走 136.4千米 .(2)Rt BCD中, BD=BCcosB=40 (千米),3Rt ACD中, AD= =40(千米),CDtanAAB=AD+BD=40+40 109 .2(千米),3AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千米) .答:开通隧道后,汽车从 A地到 B地大约可少走 27.2
14、千米 .11.解:(1)过点 C,D分别作 CE PB,DF PB,垂足分别为 E,F.则有 AB=CE=DF,EF=CD=42.11由题意可知: PCE=32.3, PDF=55.7,在 Rt PCE中, PE=CEtan32.30 .63CE,在 Rt PDF中, PF=DFtan55.71 .47CE,PF-PE=EF , 1.47CE-0.63CE=42,AB=CE= 50(m).答:楼间距 AB为 50 m.(2)由(1)得: PE=0.63CE=31.5(m),AC=BP-PE= 90-31.5=58.5(m),58.53=19.5, 点 C位于第 20层 .答:点 C位于第 20
15、层 .12.D 解析 小正方形面积为 49,大正方形面积为 169, 小正方形的边长是 7,大正方形的边长是 13,在 Rt ABC中, AC2+BC2=AB2,即 AC2+(7+AC)2=132,整理得, AC2+7AC-60=0,解得 AC=5或 AC=-12(舍去),在 Rt ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,sin- cos= - =- .513121371313.2 解析 如图,连接 AE,BE,易证 CD BE, AOD= ABE,显然 ABE是直角三角形, tan AOD=tan ABE= = =2.AEBE2221214. 解析 由折叠知 BAE= A=90,AE=A
16、E,AB=AB=6,故在 Rt ABC中,由勾股定理,得 AC= =1010 BC2-AB2=8,设 AE=AE=x,则 CE=x+8,DE=10-x,在 Rt CDE中,由勾股定理,得( x+8)2=62+(10-x)2,解得 x=2.在 Rt ABE102-62中, BE= =2 .所以 sin ABE= = = .22+62 10AEBE2210101015.解:(1) absinC= acsinB,12 12 = .bsinB csinC同理: = .asinA bsinB = = .asinA bsinB csinC(2)由(1)可知: = ,ACsinB ABsinC即 = ,ACsin15203sin60解得: AC12 .(3)过点 A作 AD BC于点 D.由(1)可知: = .BCsinBACACsinABC由题意可知 BAC= BAD+ CAD=75+45=120, = ,解得: AC6,18sin120ACsin15AD= AC= 6=3 4 .2(km).22 22 2S ABC= ADBC= 4.21838(km 2).12 1213
