1、1(二)直线与圆锥曲线(2)1(2018洛阳模拟)已知抛物线 C： y x2，点 A， B 在抛物线上，且横坐标分别为 ，抛物线 C 上的点 P 在 A， B 之间(不包括点 A，点 B)，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足1232为 Q.(1)求直线 AP 的斜率 k 的取值范围；(2)求| PA|PQ|的最大值解 (1)由题意可知 A ， B ，(12， 14) (32， 94)设 P(xP， x )， 0，12当 b0)的焦距为 2c，离心率为 ，圆x2a2 y2b2 12O： x2 y2 c2， A1， A2是椭圆的左、右顶点， AB 是圆 O 的任意一条直径， A1AB 面积的最大
2、值为 2.(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程；(2)若 l 为圆 O 的任意一条切线， l 与椭圆 C 交于两点 P， Q，求| PQ|的取值范围解 (1)设 B 点到 x 轴距离为 h，则 1AS 12AO2 |A1O|h ah，12易知当线段 AB 在 y 轴时，hmax| BO| c， 1ABS ac2， e ，ca 12 a2 c， a2， c1， b ，3椭圆 C 的方程为 1，圆 O 的方程为 x2 y21.x24 y23(2)当直线 l 的斜率不存在时，求得| PQ|3；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y kx m，直线为圆的切线，3 d 1，|m|1 k2 m2
3、 k21，联立Error!得(4 k23) x28 kmx4 m2120，判别式 48(3 k22)0，由根与系数的关系得Error!弦长| PQ| |x1 x2|1 k2 ，431 k23k2 24k2 3令 t4 k233，则| PQ| .3 (1t)2 2t 3 (3， 463综上，| PQ| .3，4633(2018江西省重点中学协作体联考)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，短x2a2 y2b2 32轴为 MN，点 P(4,0)满足 15.PM PN (1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线 l 与椭圆交于点 A， B，是否存在常数 ，使得 为定
4、值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由OA OB PA PB 解 (1) (4， b)(4， b)16 b215，PM PN 所以 b1，又 ，所以 a24，ca a2 b2a2 32从而椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)当 l 不为 x 轴时，设 l： x my4， A(x1， y1)， B(x2， y2)联立 l 与 C 的方程可得( m24) y28 my120，所以 y1 y2 ， y1y2 ，8mm2 4 12m2 4 x1x2 y1y2 (x14)( x24) y1y2OA OB PA PB (1 )(1 m2)y1y24 m(y1 y2)164 16.12 20m2
5、12 1m2 4因为 为定值，OA OB PA PB 所以 ，12 201 121 4解得 ，此时定值为 .239 803当 l 为 x 轴时， A(2,0)， B(2,0) 4 12 .OA OB PA PB 239 803综上，存在 ，使得 为定值 .239 OA OB PA PB 8034(2018宿州质检)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e ，以椭32圆 C 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 .5(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若经过点 P(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，是否存在直线 l0： x x0(x02)，使得A， B
6、到直线 l0的距离 dA， dB满足 恒成立，若存在，求出 x0的值；若不存在，请说dAdB |PA|PB|明理由解 (1)设椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2 ， c a，ca 32 32又4 4 ，a2 b2 5 a2 b25，由 b2 a2 c2 a2，14解得 a2， b1， c .3椭圆 C 的标准方程为 y21.x24(2)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l0为任意的 x x0(x02)都满足要求；当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y k(x1)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)(不妨令 x11x2)，则 dA x0 x1， dB x0 x
7、2，|PA| (x11)，| PB| (1 x2)，1 k2 1 k25 ，dAdB |PA|PB| ，x0 x1x0 x2 1 k2x1 11 k21 x2 x1 11 x2解得 x0 .2x1x2 x1 x2x1 x2 2由Error! 得(14 k2)x28 k2x4 k240，x1 x2 ， x1x2 ，8k21 4k2 4k2 41 4k2x0 4.8k2 81 4k2 8k21 4k28k21 4k2 2综上可知，存在直线 l0： x4，使得 A， B 到直线 l0的距离 dA， dB满足 恒成立dAdB |PA|PB|5(2018四省大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点 F(
8、1,0)，过直线 l： x2 左侧的动点 P 作 PH l 于点 H， HPF 的角平分线交 x 轴于点 M，且| PH| |MF|，记动点 P 的2轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程；(2)过点 F 作直线 m 交曲线 于 A， B 两点，点 C 在 l 上，且 BC x 轴，试问：直线 AC 是否恒过定点？请说明理由解 (1)设 P(x， y)，由题意可知| MF| PF|，所以 ，|PF|PH| |MF|PH| 22即 ，化简整理得 y21，x 12 y2|x 2| 22 x22即曲线 的方程为 y21.x22(2)由已知可得直线 m 的斜率不为 0，可设直线 m 的方程为 x ny1，
9、联立Error! 消去 x，得( n22) y22 ny10， 0 恒成立，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 C(2， y2)，6则 y1 y2 ， y1y2 ， x1 ny11，2nn2 2 1n2 2直线 AC 的斜率为 k ，y1 y2x1 2直线 AC 的方程为 y y2 (x2)，y1 y2x1 2即 y ，y1 y2x1 2x 2 y2x1 2y1 y2又 y2x1 2y1 y2 y2ny1 1 2nn2 2 2y2 ，y2 nn2 22( nn2 2 y2) 12直线 AC 的方程为y ，y1 y2x1 2(x 2 12) y1 y2x1 2(x 32)直线 AC 过定点 N .(32， 0)
