1、132.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题知识点一 复数代数形式的加减法思考 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即( a bi)(c di)( ac)( bd)i.梳理 (1)运算法则设 z1 a bi， z2 c di 是任意两个复数，那么( a bi)( c di)( a c)( b d)i，( a bi)( c di)( a c)( b d)i.(2)加法运算律对任意 z1， z2，
2、z3C，有 z1 z2 z2 z1，( z1 z2) z3 z1( z2 z3)知识点二 复数加减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案 如图，设 ， 分别与复数 a bi， c di 对应，OZ1 OZ2 则 ( a， b)， ( c， d)，OZ1 OZ2 由平面向量的坐标运算，得 ( a c， b d)，OZ1 OZ2 所以 与复数( a c)( b d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行OZ1 OZ2 思考 2 怎样作出与复数 z1 z2对应的向量？答案 z1 z2可以看作 z1( z2)因为复数的加法可
3、以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1 z2对应的向量(如图)图中 对应复数 z1，OZ1 2对应复数 z2，则 对应复数 z1 z2.OZ2 Z2Z1 梳理复数加法的几何意义复数 z1 z2是以 ， 为邻边的平行四边OZ1 OZ2 形的对角线 所对应的复数OZ 复数减法的几何意义复数 z1 z2是从向量 的终点指向向量OZ2 的终点的向量 所对应OZ1 Z2Z1- - - - - 的复数1两个虚数的和或差可能是实数( )2在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部( )3复数的减法不满足结合律，即( z1 z2) z3 z1( z2 z3
4、)可能不成立( )类型一 复数的加法、减法运算例 1 (1)若 z12i， z23 ai(aR)，复数 z1 z2所对应的点在实轴上，则a_.(2)已知复数 z 满足| z|i z13i，则 z_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)1 (2)1 i43解析 (1) z1 z2(2i)(3 ai)5( a1)i，由题意得 a10，则 a1.(2)设 z x yi(x， yR)，则| z| ，x2 y2| z|i z i x yi x( y)ix2 y2 x2 y213i，Error! 解得Error!3 z1 i.43反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相
5、加减，虚部与虚部相加减(2)当一个等式中同时含有| z|与 z 时，一般用待定系数法，设 z x yi(x， yR)跟踪训练 1 (1)若复数 z 满足 zi33i，则 z_.(2)(a bi)(2 a3 bi)3i_( a， bR)(3)已知复数 z 满足| z| z13i，则 z_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 (1)62i (2) a(4 b3)i (3)43i解析 (1) zi33i， z62i.(2)(a bi)(2 a3 bi)3i( a2 a)( b3 b3)i a(4 b3)i.(3)设 z x yi(x， yR)，| z| ，x2 y2| z| z
6、( x) yi13i，x2 y2Error! 解得Error! z43i.类型二 复数加、减法的几何意义例 2 (1)如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O， A， C 分别对应的复数为0，32i，24i.求： 表示的复数；AO 表示的复数；CA 表示的复数OB 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应解 A， C 对应的复数分别为 32i，24i，由复数的几何意义，知 与 表示的复数分别为 32i，24i.OA OC 因为 ，所以 表示的复数为32i.AO OA AO 4因为 ，CA OA OC 所以 表示的复数为(32i)(24i)52i.CA ，OB OA OC 所以
7、表示的复数为(32i)(24i)16i.OB (2)已知 z1， z2C，| z1| z2|1，| z1 z2| ，求| z1 z2|.3考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的模的问题解 根据复数加减法的几何意义，由| z1| z2|知，以 ， 为邻边的平行四边形 OACB 是OA OB 菱形如图， 对应的复数为 z1， 对应的复数为 z2，OA OB | | |， 对应的复数为 z1 z2，| | .OA OB OC OC 3在 AOC 中，| | |1，| | ，OA AC OC 3 AOC30.同理得 BOC30， OAB 为等边三角形，则| |1， 对应的复数为
8、z1 z2，| z1 z2|1.BA BA 引申探究 若将本例(2)中的条件“| z1 z2| ”改为“| z1 z2|1” ，求| z1 z2|.3解 如例 2(2)图，向量 表示的复数为 z1 z2，BA | |1，则 AOB 为等边三角形， AOC30，BA 则| | ，| | ， 表示的复数为 z1 z2，OD 32 OC 3 OC | z1 z2| .3反思与感悟 (1)常用技巧形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中(2)常 见 结 论 ： 在 复 平 面 内 ， z1， z2对
9、应 的 点 分 别 为 A， B， z1 z2对 应 的 点 为 C， O 为 坐 标 原点5四边形 OACB 为平行四边形；若| z1 z2| z1 z2|，则四边形 OACB 为矩形；若| z1| z2|，则四边形 OACB 为菱形；若| z1| z2|且| z1 z2| z1 z2|，则四边形 OACB 为正方形跟踪训练 2 (1)已知复平面内的平面向量 ， 表示的复数分别是2i,32i，则OA AB | |_.OB (2)若 z12i， z23 ai，复数 z2 z1所对应的点在第四象限上，则实数 a 的取值范围是_考点 复数的加减法运算法则题点 复数的加减法与向量的对应答案 (1)
10、(2)(，1)10解析 (1) ，OB OA AB 表示的复数为(2i)(32i)13i，OB | | .OB 12 32 10(2)z2 z11( a1)i，由题意知 a10，即 a1.1设 z134i， z223i，则 z1 z2在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 D解析 z1 z257i， z1 z2在复平面内对应的点位于第四象限2已知复数 z1( a22)3 ai， z2 a( a22)i，若 z1 z2是纯虚数，那么实数 a 的值为( )A1 B2C2 D2 或 1考点 复数的加减法运算法则
11、题点 复数加减法的运算法则6答案 C解析 由 z1 z2 a22 a( a23 a2)i 是纯虚数，得Error!得 a2.3在复平面内， O 是原点， ， ， 表示的复数分别为2i，32i,15i，则 表示的OA OC AB BC 复数为( )A28i B44iC66i D42i考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 B解析 ( )44i.BC OC OB OC AB OA 4设 f(z)| z|， z134i， z22i，则 f(z1 z2)等于( )A. B510 5C. D52 2考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 D解析 因为 z1 z255
12、i，所以 f(z1 z2) f(55i)|55i|5 .25设平行四边形 ABCD 在复平面内， A 为原点， B， D 两点对应的复数分别是 32i 和24i，则点 C 对应的复数是_考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用答案 52i解析 设 AC 与 BD 的交点为 E，则 E 点坐标为 ，设点 C 坐标为( x， y)，则(52， 1)x5， y2，故点 C 对应的复数为 52i.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.7一、选择题1若复数
13、 z 满足 z(34i)1，则 z 的虚部是( )A2 B4C3 D4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 B解析 z(34i)1， z24i，故 z 的虚部是 4.2实数 x， y 满足 z1 y xi， z2 yi x，且 z1 z22，则 xy 的值是( )A1 B2C2 D1考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 A解析 z1 z2( y x)( x y)i2，即Error! x y1，则 xy1.3若 z12i， z23 ai(aR)，且 z1 z2所对应的点在实轴上，则 a 的值为( )A3 B2C1 D1考点 复数加减法运算法则题点 复数加减
14、法与点的对应答案 D解析 z1 z22i3 ai(23)(1 a)i5(1 a)i. z1 z2所对应的点在实轴上，1 a0， a1.4设复数 z 满足关系式 z| z|2i，那么 z 等于( )A i B. i34 34C i D. i34 34考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 D8解析 设 z a bi(a， bR)，则 z| z|( a ) bi2i，a2 b2则Error! 解得Error! z i.345已知复数 z 对应的向量如图所示，则复数 z1 所对应的向量正确的是( )考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 A解析 由图知 z2i，
15、则 z11i，由复数的几何意义可知，A 是正确的6复数 z1 a4i， z23 bi，若它们的和 z1 z2为实数，差 z1 z2为纯虚数，则a， b 的值为( )A a3， b4 B a3， b4C a3， b4 D a3， b4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 A解析 因为 z1 z2( a3)(4 b)i 为实数，所以 4 b0， b4.因为 z1 z2( a4i)(3 bi)( a3)(4 b)i 为纯虚数，所以 a3 且 b4.故 a3， b4.7在复平面内点 A， B， C 所对应的复数分别为 13i，i，2i，若 ，则点 D 表示AD BC 的复数是( )
16、A13i B3iC35i D53i考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用答案 C解析 点 A， B， C 对应的复数分别为 13i，i,2i，9 对应的复数为 22i.设 D(x， y)，BC ，( x1， y3)(2,2)，AD BC Error! 解得Error!点 D 表示的复数为 35i.二、填空题8已知 z1(3 x y)( y4 x)i(x， yR)， z2(4 y2 x)(5 x3 y)i(x， yR)设z z1 z2，且 z132i，则 z1_， z2_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 59i 87i解析 z z1 z2(
17、3 x y4 y2 x)( y4 x5 x3 y)i(5 x3 y)( x4 y)i132i，Error! 解得Error! z159i， z287i.9设 z34i，则复数 z| z|(1i)在复平面内的对应点在第_象限考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 三解析 因为 z34i，所以| z|5，所以 z| z|(1i)34i5(1i)15i.复数 z15i 在复平面内的对应点 Z(1，5)位于第三象限10已知| z|4，且 z2i 是实数，则复数 z_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 2 2i3解析 因为 z2i 是实数，可设 z a2i( a
18、R)，由| z|4 得 a2416，所以 a212，所以 a2 ，3所以 z2 2i.311.如图所示，在复平面内的四个点 O， A， B， C 恰好构成平行四边形，其中 O 为原点，A， B， C 所对应的复数分别是 zA4 ai， zB68i， zC a bi(a， bR)，则zA zC_.10考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 24i解析 因为 ，OA OC OB 所以 4 ai( a bi)68i.因为 a， bR，所以Error! 所以Error!所以 zA42i， zC26i，所以 zA zC(42i)(26i)24i.三、解答题12设 mR，复数 z1 (
19、 m15)i， z22 m(m3)i，若 z1 z2是虚数，求 m 的m2 mm 2取值范围考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 因为 z1 ( m15)i，m2 mm 2z22 m(m3)i，所以 z1 z2 ( m15) m(m3)i(m2 mm 2 2) ( m22 m15)i.m2 m 4m 2因为 z1 z2是虚数，所以 m22 m150 且 m2，所以 m5 且 m3 且 m2，所以 m 的取值范围是(，3)(3，2)(2,5)(5，)13(1)若 f(z) z1i， z134i， z22i，求 f(z1 z2)；(2)若 z12cos i， z2 2isin (
20、0 2)，且 z1 z2在复平面内对应的点2位于第二象限，求 的取值范围考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1) z1 z2(34i)(2i)53i，11f(z1 z2) f(53i)(53i)1i62i.(2)z1 z2(2cos )(2sin 1)i，2由题意得Error!即Error!又 0,2，所以 .( 4， 56)四、探究与拓展14复数 z11icos ， z2sin i，则| z1 z2|的最大值为( )A32 B. 12 2C32 D. 12 2考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的模的问题答案 D解析 | z1 z2
21、|(1sin )(cos 1)i| 1 sin 2 1 cos 2 3 2cos sin .3 22cos( 4) max1，|cos( 4)| z1 z2|max 1.3 22 215已知复平面内平行四边形 ABCD， A 点对应的复数为 2i，向量 对应的复数为 12i，BA 向量 对应的复数为 3i，求：BC (1)点 C， D 对应的复数；(2)平行四边形 ABCD 的面积考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)因为向量 对应的复数为 12i，向量 对应的复数为 3i，BA BC 所以向量 对应的复数为(3i)(12i)23i.AC 又 ，OC OA AC 所以点 C 对应的复数为(2i)(23i)42i. 因为 ，AD BC 12所以向量 对应的复数为 3i，AD 即 (3，1)AD 设 D(x， y)，则 ( x2， y1)(3，1)，AD 所以Error! 解得Error!所以点 D 对应的复数为 5.(2)因为 | | |cos B，BA BC BA BC 所以 cos B .BA BC |BA |BC | 3 2510 210所以 sin B .7210所以 S| | |sin B 7，BA BC 5 10 7210所以平行四边形 ABCD 的面积为 7.
