1、1第 1 讲 三角函数的图象与性质考情考向分析 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1三角函数：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，则 sin y，cos x，tan (x0)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余yx弦2同角基本关系式：sin 2 cos 2 1， tan .sin cos ( k 2， k Z)3诱导公式：在 ， kZ 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限” k2例
2、 1 (1)(2018资阳三诊)已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若它的终边经过点 P(2,1)，则 tan 2 等于( )A. B. C D43 12 12 43答案 A解析 因为角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(2,1)，所以 tan ，12因此 tan 2 .2tan 1 tan2 11 14 43(2)(2018衡水金卷信息卷)已知曲线 f(x) x32 x2 x 在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为 ，则 cos2 2cos 2 3sin(2 )cos( )的值为( )( 2 )A. B C. D85 45 43
3、23答案 A解析 由 f(x) x32 x2 x 可知 f( x)3 x24 x1，tan f(1)2，2cos2 2cos 2 3sin cos( 2 ) (2 ) ( )(sin )22cos 2 3sin cos sin 2 2cos 2 3sin cos sin2 2cos2 3sin cos sin2 cos2 tan2 3tan 2tan2 1 .4 6 25 85思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利
4、用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等跟踪演练 1 (1)(2018合肥质检)在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点 P，则 sin( )等于( )(sin53， cos53)A B C. D.32 12 12 32答案 B解析 由诱导公式可得，sin sin sin ，53 (2 3) 3 32cos cos cos ，即 P ，53 (2 3) 3 12 ( 32， 12)由三角函数的定义可得，sin ，12( 32)2 (12)2 12则 sin sin .( )12(2)(2018衡水金卷调研卷)已知 sin(3 )2sin ，则(32
5、)等于( )sin 4sin( 2 )5sin2 2cos2 A. B. C. D12 13 16 163答案 D解析 sin(3 )2sin ，(32 )sin 2cos ，即 sin 2cos ，则 sin 4sin( 2 )5sin2 2cos2 sin 4cos 5sin 2cos .2cos 4cos 10cos 2cos 212 16热点二 三角函数的图象及应用函数 y Asin(x )的图象(1)“五点法”作图：设 z x ，令 z0， ， ，2，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线可 2 32得(2)图象变换：(先平移后伸缩) ysin x 向 左 0或 向 右 0倍
6、纵 坐 标 不 变y Asin(x ) 纵 坐 标 变 为 原 来 的 AA0倍 横 坐 标 不 变(先伸缩后平移) ysin x 横 坐 标 变 为 原 来 的 1 0倍 纵 坐 标 不 变ysin x ysin( x ) 向 左 0或 右 0倍 横 坐 标 不 变例 2 (1)要得到函数 ysin 的图象，只需将函数 ycos 3 x 的图象( )(3x 4)A向右平移 个单位长度 4B向左平移 个单位长度 44C向右平移 个单位长度34D向左平移 个单位长度34答案 A解析 因为 ycos 3xsin sin 3 ，且 ysin sin 3 ，(3x 2) (x 6) (3x 4) (x
7、 12) ，所以应将 ycos 3 x 的图象向右平移 个单位长度，即可得到函数 ysin 6 ( 12) 4 4的图象故选 A.(3x 4)(2)(2018永州模拟)函数 f(x) Asin(x ) 的部分图象如图所示，( 0， | |0， | |0， 0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提
8、取后再确定变换的单位长度数和方向跟踪演练 2 (1)(2018东北三省四市模拟)将函数 f(x)sin 的图象向右平移 a 个(2x 3)单位长度得到函数 g(x)cos 的图象，则 a 的值可以为( )(2x 4)A. B. C. D.512 712 1924 4124答案 C解析 将函数 f(x)sin 的图象向右平移 a 个单位长度得到函数 ysin(2x 3)，(2x 2a 3)而 g(x)cos sin ，(2x 4) (2x 4 2)故2 a 2 k ， kZ， 3 4 2即 a k ， kZ，所以当 k1 时， a .524 1924(2)(2018北京朝阳区模拟)函数 f(x)
9、 Asin(x ) 的部分(A0， 0， | |0)的图象上相邻最高点与最低3327点的距离为 . 2 4(1)求 的值；(2)若函数 y f(x ) 是奇函数，求函数 g(x)cos(2 x )在0,2上的(00， T 2， .22 12(2)由(1)可知 f(x)sin ，(x 3) f(x )sin .(x 3) y f(x )是奇函数，sin 0，( 3)又 00)的最小正周期是 .( x 6)(1)求函数 f(x)在区间(0，)上的单调递增区间；(2)求 f(x)在 上的最大值和最小值 8， 38解 (1) f(x)4cos x sin( x 6)4cos x (sin xcos 6
10、 cos xsin 6)2 sin x cos x 2cos 2x 113 sin 2x cos 2 x 12sin 1，3 (2 x 6)因为最小正周期是 ，所以 1，22从而 f(x)2sin 1.(2x 6)令 2 k2 x 2 k( kZ)， 2 6 2解得 k x k( kZ)， 6 3所以函数 f(x)在(0，)上的单调递增区间为 和 .(0， 3 56， )(2)当 x 时，2 x ， 8， 38 6 12， 7122sin ，(2x 6) 6 22 ， 2所以 f(x)在 上的最大值和最小值分别为 1， 1. 8， 38 6 229真题体验1(2018全国改编)已知函数 f(x
11、)2cos 2xsin 2x2，则 f(x)的最小正周期为_，最大值为_答案 4解析 f(x)2cos 2xsin 2x21cos 2 x 2 cos 2x ，1 cos 2x2 32 52 f(x)的最小正周期为 ，最大值为 4.2(2018全国改编 )若 f(x)cos xsin x 在0， a上是减函数，则 a 的最大值是_答案 34解析 f(x)cos xsin x sin ，2 (x 4)当 x ，即 x 时， 4 2， 2 4， 34ysin 单调递增，(x 4)f(x) sin 单调递减，2 (x 4) 是 f(x)在原点附近的单调减区间， 4， 34结合条件得0， a ， 4，
12、 34 a ，即 amax .34 343(2018天津改编)将函数 ysin 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应(2x 5) 10的函数_(填序号)在区间 上单调递增；34， 54在区间 上单调递减；34， 在区间 上单调递增；54， 32在区间 上单调递减32， 2 10答案 解析 函数 ysin 的图象向右平移 个单位长度后的解析式为 ysin(2x 5) 10sin 2x，则函数 ysin 2x 的一个单调增区间为 ，一个单调减区2(x10) 5 34， 54间为 .由此可判断正确54， 744(2018北京)设函数 f(x)cos ( 0)若 f(x) f 对任意的实数 x 都
13、成( x 6) ( 4)立，则 的最小值为_答案 23解析 f(x) f 对任意的实数 x 都成立，( 4)当 x 时， f(x)取得最大值， 4即 f cos 1，( 4) ( 4 6) 2 k， k Z， 4 6 8 k ， k Z.23 0，当 k0 时， 取得最小值 .23押题预测1已知函数 f(x)sin (xR， 0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 .为了( x 5) 2得到函数 g(x)cos x 的图象，只要将 y f(x)的图象( )A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度320 320C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 5 5押题依据 本题结合函数图象的
14、性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错答案 A解析 由于函数 f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，则其最小正周期 T， 2所以 2，即 f(x)sin ， g(x)cos 2 x.2T (2x 5)11把 g(x)cos 2x 变形得 g(x)sin sin ，所以要得到函数 g(x)的(2x 2) 2(x 320) 5图象，只要将 f(x)的图象向左平移 个单位长度即可故选 A.3202如图，函数 f(x) Asin(x ) 与坐标轴的三个交(其 中 A0， 0， | | 2)点 P， Q， R 满足 P(2,0)， PQR ， M
15、为 QR 的中点， PM2 ，则 A 的值为( ) 4 5A. B. C8 D16833 163 3押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求 A，考查数形结合思想答案 B解析 由题意设 Q(a,0)， R(0， a)(a0)则 M ，由两点间距离公式，得(a2， a2)PM 2 ，(2 a2)2 (a2)2 5解得 a18， a24(舍去)，由此得 826，即 T12，故 ，T2 6由 P(2,0)得 ， 3代入 f(x) Asin(x )，得 f(x) Asin ，( 6x 3)从而 f(0) Asin 8，得 A .( 3) 163 33已知函数 f(x)co
16、s 4x2sin xcos xsin 4x.(1)若 x 是某三角形的一个内角，且 f(x) ，求角 x 的大小；22(2)当 x 时，求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的值0， 2押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或12对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式解 (1) f(x)cos 4x2sin xcos xsin 4x(cos 2xsin 2x)
17、(cos2xsin 2x)sin 2 xcos 2 xsin 2 x 2(22cos 2x 22sin 2x) cos ，2 (2x 4) f(x) cos ，2 (2x 4) 22可得 cos .(2x 4) 12由题意可得 x(0，)，2 x ，可得 2x 或 ， 4 ( 4， 94) 4 23 43 x 或 .524 1324(2) x ，2 x ，0， 2 4 4， 54cos ，(2x 4) 1， 22 f(x) cos ，12 (2x 4) 2 f(x)的最小值为 ，此时 2x ，2 4即 x .3813A 组 专题通关1(2018佛山质检)函数 ysin cos 的最小正周期和振
18、幅分别是( )(2x 6) (2x 3)A， B，2 C2，1 D2，2 2答案 B解析 ysin cos(2x 6) (2x 3)sin sin(2x 6) (2x 3) 22sin ，(2x 6) T ，振幅为 2.222(2018郑州模拟)已知函数 f(x) cos cos 2 x，若要得到一个奇函数的图象，3 (2x 2)则可以将函数 f(x)的图象( )A向左平移 个单位长度 6B向右平移 个单位长度 6C向左平移 个单位长度12D向右平移 个单位长度12答案 C解析 由题意可得，函数 f(x) sin 2xcos 2 x2sin ，3 (2x 6)设平移量为 ，得到函数 g(x)2
19、sin ，(2x 2 6)又 g(x)为奇函数，所以 2 k， kZ， 6即 ， kZ.12 k23(2018河北省衡水金卷模拟)已知函数 f(x)2cos x ( 0)的图象向左平移 个单位长度，所得的部分函数图象如图所示，则 的值为( )(00， 00 f 或 f 0 时，函数 f(x)有且只有一个零点，( 3) (712) ( 6)即 sin b 0)的图象在区间(1,2)上不单调，( x 4)则 的取值范围为( )A. B. (38， ) (38， 34) (78， )C. D.(38， 78) (74， ) (34， )答案 B解析 因为当 x(1,2)时， x ， 4 ( 4， 2
20、 4)又因为函数 f(x)sin ( 0)的图象在区间(1,2)上不单调，( x 4)所以存在 kZ，使得 k ， 2 ( 4， 2 4)即得 0，所以 k0，当 k0 时， 0，函数 f(x)2 asin 2 a b，当 x 时，5 f(x)1.(2x 6) 0， 2(1)求常数 a， b 的值；(2)设 g(x) f 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间(x 2)解 (1) x ，2 x .0， 2 6 6， 76sin ，(2x 6) 12， 12 asin 2 a， a(2x 6) f(x) b,3a b，又5 f(x)1， b5,3 a b1，因此 a2， b5.(2)由(1)得 f(x)4sin 1，(2x 6) g(x) f 4sin 1(x 2) (2x 76)4sin 1.(2x 6)又由 lg g(x)0，得 g(x)1，4sin 11，(2x 6)sin ，(2x 6)122 k 2x 2k ， kZ， 6 6 56其中当 2k 2x 2 k ， kZ， 6 6 221即 k x k ， kZ 时， g(x)单调递增； 6当 2k 2x 2k ， kZ， 2 6 56即 k xk ， kZ 时， g(x)单调递减 6 3 g(x)的单调递增区间为 ， kZ，(k ， k 6单调递减区间为 ， kZ.(k 6， k 3)
