1、1第一部分 专题三 第一讲 三角函数的图象与性质A 组1已知 sin ，且 ( ，)，函数 f(x)sin( x )( 0)的图象的相邻35 2两条对称轴之间的距离等于 ，则 f( )的值为( B ) 2 4A B 35 45C D35 45解析 由函数 f(x)sin( x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，得 2到其最小正周期为 ，所以 2， f( )sin(2 )cos . 4 4 1 sin2 452函数 f(x)cos( x )的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( D )A ， kZ(k 14， k 34)B ， kZ(2k 14， 2k 34)C ， kZ(k
2、14， k 34)D ， kZ(2k14， 2k 34)解析 由五点作图知，Error! kZ，可得 ， ，所以 f(x)cos 4.令 2k x 2 k， kZ，解得 2k x2 k ， kZ，故单调减( x 4) 4 14 34区间为 ， kZ.故选 D .(2k14， 2k 34)3(2017天津卷，7)设函数 f(x)2sin( x )， xR，其中 0，| |0)， f( ) f( )0，3 6 2且 f(x)在区间( ， )上递减，则 ( B ) 6 2A3 B2 C6 D5解析 f(x)2sin( x )， f( ) f( )0. 3 6 2当 x 时， f(x)0. 6 22
3、3 k， kZ， 3 3 3 k1， kZ，排除 A，C；又 f(x)在( ， )上递减， 6 2把 2， 5 代入验证，可知 2.5已知函数 f(x)sin( x ) ， x 为 f(x)的零点，( 0， | | 2) 4x 为 y f(x)图象的对称轴，且 f(x)在 上单调，则 的最大值为( B ) 4 (18， 536)A11 B9 3C7 D5解析 由题意知：Error!则 2 k1，其中 kZ. f(x)在 上单调，(18， 536) ， 12.536 18 12 12 2接下来用排除法若 11， ，此时 f(x)sin ， 4 (11x 4)f(x)在 上单调递增，在 上单调递减
4、，不满足 f(x)在 上单(18， 344) (344， 536) (18， 536)调，若 9， ，此时 f(x)sin ，满足 f(x)在 上单调递减 4 (9x 4) (18， 536)6(2017开封市高三一模)已知函数 f(x)2sin( x)sin(x )的图象关 3于原点对称，其中 (0，)，则 . 6解析 本题主要考查三角函数的奇偶性，诱导公式因为 f(x)2sin( x)sin(x )的图象关于原点对称，所以函数 f(x) 32sin( x)sin(x )为奇函数，则 ysin( x )为偶函数，又 (0，)， 3 3所以 . 67如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两
5、个函数为“互为生成”函数给出下列四个函数： f(x)sin xcos x; f(x) (sinxcos x)；2 f(x)sin x; f(x) sinx .2 2其中为“互为生成”函数的是(填序号)解析 首先化简题中的四个解析式可得： f(x) sin(x )， f(x)2 42sin( x )， f(x)sin x， f(x) sinx ，可知 f(x)sin x 的图象要与其 4 2 2他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以 f(x)4sin x 不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理 f(x) sin(x )的图象与2 4 f(x)2sin( x )的
6、图象也必须经过伸缩变换才能重合，而 f(x) sinx 的图象 4 2 2向左平移 个单位，再向下平移 个单位即可得到 f(x) sin(x )的图象，所以 4 2 2 4为“互为生成”函数8已知函数 f(x)(2cos 2 x1)sin2 x cos4x.12(1)求 f(x)的最小正周期及最大值；(2)若 ，且 f( ) ，求 a 的值( 2， ) 22解析 (1)因为 f(x)(2cos 2x1)sin2 x cos4x12cos2 xsin2x cos4x12 (sin4xcos4 x)12 sin(4x )22 4所以 f(x)的最小正周期为 ，最大值为 . 2 22(2)因为 f(
7、 ) ，所以 sin(4 )1.22 4因为 ( ，)， 2所以 4 ( ， )， 4 94 174所以 4 ，故 . 4 52 9169某同学用“五点法”画函数 f(x) Asin(x )( 0，| |0)个单位长度，得到 y g(x)的图象若 y g(x)图象的一个对称中心为( ，0)，求 的最小值512解析 (1)根据表中已知数据，解得 A5， 2， ，数据补全如下表： 6x 0 2 32 2x 12 3 712 56 1312Asin(x ) 0 5 0 5 0且函数解析式为 f(x)5sin(2 x ) 6(2)由(1)知 f(x)5sin(2 x )， 6则 g(x)5sin(2
8、x2 ) 6因为函数 ysin x 图象的对称中心为( k，0)， kZ.令 2x2 k， 6解得 x ， kZ.k2 12由于函数 y g(x)的图象关于点( ，0)成中心对称，512所以令 ，k2 12 512解得 ， kZ.k2 3由 0 可知，当 k1 时， 取得最小值 . 6B 组1若函数 f(x) asinx bcosx (00， f() 0，sin21 cos1 sin21 cos排除选项 A，D由 1cos x0，得 x2 k( kZ)，故函数 f(x)的定义域关于原点对称又 f( x) f(x)，sin 2x1 cos x sin2x1 cosx f(x)为奇函数，其图象关于
9、原点对称，排除选项 B故选 C3(2017全国卷，9)已知曲线 C1： ycos x， C2： ysin(2 x )，则下面结论23正确的是( D )A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2 6B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2127C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12个单位长度，得到曲线 C2 6D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C212解析 因
10、为 ysin(2 x )cos(2 x )cos(2 x )，所以曲线23 23 2 6C1： ycos x 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线 ycos2 x，再把得12到的曲线 ycos2 x 向左平移 个单位长度，得到曲线 ycos2( x )cos(2 x )故12 12 6选 D4(2018长沙二模)已知函数 f(x)2sin( x )1( 0，| |0， 0，| |0)在( ，)上单调递减，则 的取值范围 2是 ， .12 54解析 f(x)sin x cos x sin(x )，2 4令 2k x 2 k (kZ)， 2 4 32解得 x (kZ)2k 4 2k
11、 54由题意，函数 f(x)在( ，)上单调递减，故( ，)为函数单调递减区间的一个子 2 2区间，故有Error!解得 4k 2 k (kZ)12 54由 4k 0，可知 k0，因为 kZ，所以 k0，故 的取值范围为 ， 12 548已知函数 f(x)sin(2 x )sin(2 x )2cos 2x， xR. 3 3(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)在区间 ， 上的最大值和最小值 4 4解析 (1) f(x)sin2 xcos cos2 xsin sin2 xcos cos2 xsin cos2 x1sin2 xcos2 x 3 3 3 31 sin(2x )1，
12、2 4 f(x)的最小正周期 T .22(2)由(1)知， f(x) sin(2x )1.2 4 x ， ， 4 4令 2x 得 x ， 4 2 810 f(x)在区间 ， 上是增函数； 4 8在区间 ， 上是减函数， 8 4又 f( )0， f( ) 1， f( )2， 4 8 2 4函数 f(x)在区间 ， 上的最大值为 1，最小值为 0. 4 4 29已知函数 f(x)sin xcosx cos2x.12(1)若 tan 2，求 f( )的值；(2)若函数 y g(x)的图象是由函数 y f(x)的图象上所有的点向右平移 个单位长度 4而得到，且 g(x)在区间(0， m)内是单调函数，
13、求实数 m 的最大值解析 (1)因为 tan 2，所以 f( )sin cos cos212sin cos (2cos2 1)12sin cos cos 2 12 sin cos cos2sin2 cos2 12 .tan 1tan2 1 12 110(2)由已知得 f(x) sin2x cos2x12 12 sin(2x )22 4依题意，得 g(x) sin2(x ) ，22 4 4即 g(x) sin(2x )22 4因为 x(0， m)，所以 2x ，2 m ， 4 4 4又因为 g(x)在区间(0， m)内是单调函数，11所以 2m ，即 m ，故实数 m 的最大值为 . 4 2 38 38
