1、1第一部分 专题八 第一讲 坐标系与参数方程A 组1在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系 xOy 中相同)的极坐标系中，曲线 C 的方程为 2 acos (a0)， l 与 C 相切于点 P.(1)求 C 的直角坐标方程；(2)求切点 P 的极坐标解析 (1) l 表示过点(3,0)倾斜角为 120的直线，曲线 C 表示以 C( a,0)为圆心，a 为半径的圆 l 与 C 相切， a (3 a)， a1.12于是曲线 C 的方程为 2cos ， 22 cos ，于是 x2 y22 x，故所求
2、C 的直角坐标方程为 x2 y22 x0.(2) POC OPC30， OP .3切点 P 的极坐标为( ， )3 62已知圆 C 的极坐标方程为 22 sin 40，求圆 C 的半径2 ( 4)解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 22 40，2 (22sin 22cos )化简，得 22 sin 2 cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y40，即( x1) 2( y1) 26，所以圆 C 的半径为 .63在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 方程为Error!( 为参数)(1)
3、求过椭圆的右焦点，且与直线 m：Error!( t 为参数)平行的直线 l 的普通方程(2)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值分析 (1)由直线 l 与直线 m 平行可得 l 的斜率，将椭圆 C 的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得 l 方程(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解解析 (1)由 C 的参数方程可知， a5， b3， c4，右焦点 F2(4,0)，将直线2m 的参数方程化为普通方程： x2 y20，所以 k ，于是所求直线方程为 x2 y40.12(2)由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分(令 0 )，则 2S4| xy|60sin
4、cos 30sin2 ，当 2 时， Smax30， 2即矩形面积的最大值为 30.4(2018邯郸一模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1， C2的极坐标方程分别为 2sin ， cos( ) . 4 2(1)求 C1和 C2交点的极坐标；(2)直线 l 的参数方程为：Error!( t 为参数)，直线 l 与 x 轴的交点为 P，且与 C1交于A， B 两点，求| PA| PB|.解析 (1) C1， C2极坐标方程分别为 2sin ， cos( ) ， 4 2化为直角坐标方程分别为 x2( y1) 21， x y20.得交点坐标
5、为(0,2)，(1,1)即 C1和 C2交点的极坐标分别为(2， )，( ， ) 2 2 4(2)把直线 l 的参数方程：Error!( t 为参数)，代入 x2( y1) 21，得( t)2( t1) 21，332 12即 t24 t30， t1 t24， t1t23，所以| PA| PB|4.B 组1(2017全国卷，22)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为Error!( t 为参数)，直线 l2的参数方程为Error!( m 为参数)设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建
6、立极坐标系，设 l3： (cos sin ) 0， M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径2解析 (1)消去参数 t 得 l1的普通方程 l1： y k(x2)；消去参数 m 得 l2的普通方程 l2： y (x2)1k设 P(x， y)，由题设得Error!消去 k 得 x2 y24( y0)，所以 C 的普通方程为 x2 y24( y0)3(2)C 的极坐标方程为 2(cos2 sin 2 )4(00)(1)若曲线 C1与曲线 C2有一个公共点在 x 轴上，求 a 的值；(2)当 a3 时，曲线 C1与曲线 C2交于 A， B 两点，求 A， B 两点的距离解析 (1)曲线 C1：Er
7、ror!的普通方程为 y32 x.曲线 C1与 x 轴的交点为( ，0)32曲线 C2：Error!的普通方程为 1.x2a2 y29曲线 C2与 x 轴的交点为( a,0)，( a,0)由 a0，曲线 C1与曲线 C2有一个公共点在 x 轴上，知 a .32(2)当 a3 时，曲线 C2：Error!为圆 x2 y29.圆心到直线 y32 x 的距离 d .|3|22 12 355所以 A， B 两点的距离| AB|2 r2 d22 .9 355 2 12553(2016全国卷，23)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!(t 为参数， a0)在以坐标原点为极点， x
8、轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 4cos .()说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；()直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 02，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a.解析 ()消去参数 t 得到 C1的普通方程 x2( y1) 2 a2.C1是以(0,1)为圆心， a为半径的圆将 x cos ， y sin 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 22 sin 1 a20.()曲线 C1， C2的公共点的极坐标满足方程组4Error!若 0，由方程组得 16cos2 8sin cos 1 a20，由已知 tan 2，可得16c
9、os2 8sin cos 0，从而 1 a20，解得 a1(舍去)或 a1.a1 时，极点也为 C1， C2的公共点，在 C3上所以 a1.4(2018邵阳三模)在直角坐标系 xOy 中，直线的参数方程为Error!( t 为参数)，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos( )2 4(1)求曲线 C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，若点 P 的直角坐标为(1,0)，试求当 时， 4|PA| PB|的值解析 (1)曲线 C： 2 cos( )，2 4可以化为 22 cos( )， 22 cos 2 sin ，2 4因此，曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y0.它表示以(1，1)为圆心， 为半径的圆2(2)当 时，直线的参数方程为Error!( t 为参数) 4点 P(1,0)在直线上，且在圆 C 内，把Error!代入 x2 y22 x2 y0 中得t2 t10.2设两个实数根为 t1， t2，则 A， B 两点所对应的参数为 t1， t2，则 t1 t2 ， t1t21.2所以| PA| PB| t1 t2| . t1 t2 2 4t1t2 6
