1、1专题对点练 22 直线与圆及圆锥曲线1.设 A,B 为曲线 C:y= 上两点, A 与 B 的横坐标之和为 4.x24(1)求直线 AB 的斜率;(2)设 M 为曲线 C 上一点, C 在 M 处的切线与直线 AB 平行,且 AM BM,求直线 AB 的方程 .2.(2018 全国 ,文 20)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A,B两点, |AB|=8.(1)求 l 的方程 .(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程 .3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O1:(x+1)2+y2=1 和 O2:(x-1)2+y2
2、=9,动圆 P 与圆 O1外切,与圆 O2内切 .(1)求圆心 P 的轨迹 E 的方程;(2)过 A(-2,0)作两条互相垂直的直线 l1,l2分别交曲线 E 于 M,N 两点,设 l1的斜率为 k(k0), AMN的面积为 S,求 的取值范围 .Sk24.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线 x- y=4 相切 .3(1)求圆 O 的方程;(2)若圆 O 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且 |MN|=2 ,求直线 MN 的方程;3(3)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 |PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求 的取值范围
3、.PAPB5.已知点 N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点 M 是以 N 为圆心,4 为半径的圆上任意一点,线段 MF 的垂直平分线交 MN 于点 R.(1)点 R 的轨迹为曲线 E,求曲线 E 的方程;(2)抛物线 C 的顶点在坐标原点, F 为其焦点,过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,与曲线 E 交于 P,Q 两点,请问:是否存在直线 l 使 A,F,Q 是线段 PB 的四等分点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 .6.(2018 天津,文 19)设椭圆 =1(ab0)的右顶点为 A,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 ,x2a2+
4、y2b2 53|AB|= .13(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l:y=kx(k0,即 m-1 时, x1,2=22 .m+1从而 |AB|= |x1-x2|=4 .2 2(m+1)由题设知 |AB|=2|MN|,即 4 =2(m+1),2(m+1)解得 m=7.所以直线 AB 的方程为 y=x+7.2.解 (1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k0).设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 y=k(x-1),y2=4x 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.= 16k2+160,故 x1+x2= .2k2+4k2所以 |AB|=|AF|+|BF|=(x1+1
5、)+(x2+1)= ;4k2+4k2由题设知 =8,解得 k=-1(舍去), k=1.4k2+4k2因此 l 的方程为 y=x-1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为( x0,y0),则y0= -x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22 +16.解得 x0=3,y0=2或 x0=11,y0= -6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或( x-11)2+(y+6)2=144.3.解 (1)设动圆 P 的半径为 r,则 |PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以 |
6、PO1|+|PO2|=4,所以 P 的轨迹为椭圆,2 a=4,2c=2,所以 a=2,c=1,b= ,3所以椭圆的方程为 =1(x -2).x24+y23(2)设点 M 坐标为( x0,y0),直线 l1的方程为 y=k(x+2),代入 =1,x24+y23可得(3 +4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.A (-2,0)在椭圆 =1 上,x24+y23x 0(-2)= ,则 x0= ,16k2-123+4k2 6-8k23+4k2|AM|= .1+k2(6-8k23+4k2+2)= 1+k2123+4k2同理 |AN|= .1+1k212k23k2+4所以 S= |AM|AN|= .
7、12 121+k2123+4k21+1k212k23k2+44,令 k2+1=t1,Sk= 72(k2+1)(3k2+4)(4k2+3),所以 (0,6) .Sk= 72(k2+1)(3k2+4)(4k2+3)= 72t(4t-1)(3t+1)= 7212t+1-1t Sk4.解 (1)依题意,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- y=4 的距离,3即 r= =2.41+3所以圆 O 的方程为 x2+y2=4.(2)由题意,可设直线 MN 的方程为 2x-y+m=0.则圆心 O 到直线 MN 的距离 d= ,|m|5所以 +( )2=22,即 m= .m25 3 5所以直线 MN 的
8、方程为 2x-y+ =0 或 2x-y- =0.5 5(3)设 P(x,y),由题意得 A(-2,0),B(2,0).由 |PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 =x2+y2,即 x2-y2=2.(x+2)2+y2(x-2)2+y2因为 =(-2-x,-y)(2-x,-y)=2(y2-1).PAPB由于点 P 在圆 O 内,故 x2+y2|NF|,R 的轨迹是以 N,F 为焦点的椭圆, a=2,c=1,b= ,3 曲线 E 的方程为 =1;x24+y23(2)抛物线 C 的顶点在坐标原点, F 为其焦点,抛物线的方程为 y2=4x,假设存在直线 l 使 A,F,Q 是线段 PB 的四等分点
9、,则 |AF|= |FB|.12直线 l 斜率显然存在,设方程为 y=k(x-1)(k0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),则直线代入抛物线方程,整理可得 ky2-4y-4k=0,y 1+y2= , 4ky1y2=-4, |AF|= |FB|, =-2, 12 y2y1 由 解得 k=2 .2k=2 时,直线 l 的方程为 y=2 (x-1),解得 A ,B(2,2 ).2 2 (12,- 2) 2直线与椭圆方程联立解得 P ,A .(25,-625) (107,627)y B2 yQ,Q 不是 FB 的中点,即 A,F,Q 不是线段 PB 的四等分点 .同理可得 k=-2 时, A,
10、F,Q 不是线段 PB 的四等分点,2 不存在直线 l 使 A,F,Q 是线段 PB 的四等分点 .6.解 (1)设椭圆的焦距为 2c,由已知有 .又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.由 |AB|= ,c2a2=59 a2+b2= 13从而 a=3,b=2.所以,椭圆的方程为 =1.x29+y245(2)设点 P 的坐标为( x1,y1),点 M 的坐标为( x2,y2),由题意, x2x10,点 Q 的坐标为( -x1,-y1).由BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍,可得 |PM|=2|PQ|,从而 x2-x1=2x1-(-x1),即 x2=5x1.易知直线 AB 的方程为 2x+3y=6,由方程组 消去 y,可得 x2= .由方程组2x+3y=6,y=kx, 63k+2消去 y,可得 x1= .由 x2=5x1,可得 =5(3k+2),两边平方,整理得x29+y24=1,y=kx, 69k2+4 9k2+418k2+25k+8=0,解得 k=- ,或 k=- .当 k=- 时, x2=-90,不合题意,舍去;当 k=- 时, x2=12,x1= ,符合题89 12 89 12 125意 .所以, k 的值为 - .12
