1、1专题对点练 24 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知动圆 M恒过点(0,1),且与直线 y=-1相切 .(1)求圆心 M的轨迹方程;(2)动直线 l过点 P(0,-2),且与点 M的轨迹交于 A,B两点,点 C与点 B关于 y轴对称,求证:直线 AC恒过定点 .2.已知椭圆 : +y2=1(a1)与圆 E:x2+ =4相交于 A,B两点,且 |AB|=2 ,圆 E交 y轴负半x2a2 (y-32)2 3轴于点 D.(1)求椭圆 的离心率;(2)过点 D的直线交椭圆 于 M,N两点,点 N与点 N关于 y轴对称,求证:直线 MN过定点,并求该定点坐标 .3.已知抛物线 E:y2=4x的
2、焦点为 F,圆 C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直线 l与抛物线 E交于 A,B两点,与圆 C切于点 P.(1)当切点 P的坐标为 时,求直线 l及圆 C的方程;(45,85)(2)当 a=2时,证明: |FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出该定值 .24.设点 M是 x轴上的一个定点,其横坐标为 a(aR),已知当 a=1时,动圆 N过点 M且与直线 x=-1相切,记动圆 N的圆心 N的轨迹为 C.(1)求曲线 C的方程;(2)当 a2时,若直线 l与曲线 C相切于点 P(x0,y0)(y00),且 l与以定点 M为圆心的动圆 M也相切,当动圆 M的面积最小时,证明: M,P两点的
3、横坐标之差为定值 .5.已知椭圆 M: =1(ab0)的焦距为 2 ,离心率为 .x2a2+y2b2 3 32(1)求椭圆 M的方程;(2)若圆 N:x2+y2=r2上斜率为 k的切线 l与椭圆 M相交于 P,Q两点, OP与 OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的 r的值;若不能垂直,请说明理由 .6.已知椭圆 =1(ab0)的右焦点为 F,右顶点为 A,上顶点为 B,已知 |AB|= |OF|,且 AOB的x2a2+y2b2 3面积为 .2(1)求椭圆的方程;(2)直线 y=2上是否存在点 Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点 Q的坐标;若不存在,说明理由 .3专题对点练
4、 24答案1.(1)解 动点 M到直线 y=-1的距离等于到定点 C(0,1)的距离, 动点 M的轨迹为抛物线,且 =1,解得 p=2, 动点 M的轨迹方程为 x2=4y.p2(2)证明 由题意可知直线 l的斜率存在,设直线 l的方程为 y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则 C(-x2,y2).联立 化为 x2-4kx+8=0,= 16k2-320,解得 k 或 k0,x1+x2=- ,x1x2= ,2kb-4k2 b2k24|AB|= 1+k2(x1+x2)2-4x1x2= 1+k2(-2kb-4k2)2-4b2k2= 1+k2-16kb+16k2= 1+k24b2k2 =
5、4(b2+k2b2)k2= ,4(4-4kb+k2b2)k2 =4-2kbk2由抛物线的性质可知 |FA|+|FB|=x1+x2+p=x1+x2+2,|FA|+|FB|=- +2,2kb-4k2|FA|+|FB|-|AB|=- +2- =2,2kb-4k2 4-2kbk2|FA|+|FB|-|AB| 是定值,定值为 2.4.(1)解 因为圆 N与直线 x=-1相切,所以点 N到直线 x=-1的距离等于圆 N的半径,所以点 N到点 M(1,0)的距离与到直线 x=-1的距离相等 .所以点 N的轨迹为以点 M(1,0)为焦点,直线 x=-1为准线的抛物线,所以圆心 N的轨迹方程,即曲线 C的方程为
6、 y2=4x.(2)证明 由题意,直线 l的斜率存在,设直线 l的方程为 y-y0=k(x-x0),由 y-y0=k(x-x0),y2=4x 得 y2-y-kx0+y0=0,k4又 =4x0,所以 y2-y- +y0=0.y20k4 k4y20因为直线 l与曲线 C相切,所以 = 1-k =0,解得 k= .(-k4y20+y0) 2y0所以直线 l的方程为 4x-2y0y+ =0.y20动圆 M的半径即为点 M(a,0)到直线 l的距离 d= .|4a+y20|16+4y20当动圆 M的面积最小时,即 d最小,而当 a2时, d= 2 .|4a+y20|16+4y20= y20+4a2y20
7、+4=y20+4+4a-42y20+4 = y20+42 + 4a-42y20+4 a-1当且仅当 =4a-8,即 x0=a-2时取等号,y20所以当动圆 M的面积最小时, a-x0=2,即当动圆 M的面积最小时, M,P两点的横坐标之差为定值 .5.解 (1)依题意椭圆 M: =1(ab0)的焦距为 2 ,离心率为 .x2a2+y2b2 3 32得 c= ,e= ,可得 a=2,则 b=1,3ca= 32故椭圆的方程为 +y2=1.x24(2)设直线 l的方程为 y=kx+m, 直线 l与圆 x2+y2=1相切, =r,即 m2=r2(k2+1). |m|k2+1由 可得(1 +4k2)x2
8、+8kmx+4m2-4=0,y=kx+m,x24+y2=1= 64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+160,m 2b0)的右焦点为 F,右顶点为 A,上顶点为 B,已知 |AB|= |OF|,且 AOBx2a2+y2b2 3的面积为 ,2 c, ab= ,a= 2,b= ,a2+b2= 312 2 2 椭圆方程为 =1.x24+y22(2)假设直线 y=2上存在点 Q满足题意,设 Q(m,2),当 m=2时,从点 Q所引的两条切线不垂直 .当 m 2时,设过点 Q向椭圆所引的切线的斜率为 k,则 l的方程为 y=k(x-m)+2,代入椭圆方程,消去 y,整理得(1 +2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0,= 16k2(mk-2)2-4(1+2k2)2(mk-2)2-4=0, (m2-4)k2-4mk+2=0.设两条切线的斜率分别为 k1,k2,则 k1,k2是方程( m2-4)k2-4mk+2=0的两个根, k 1k2= =-1,2m2-4解得 m= ,点 Q坐标为( ,2)或( - ,2).2 2 2 直线 y=2上两点( ,2),(- ,2)满足题意 .2 2
