1、1第 3 讲 圆锥曲线的综合问题考情考向分析 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解例 1 (2018浙江省稽阳联谊学校联考)已知离心率为 的椭圆 C： 1( ab0)过点32 x2a2 y2b2P ，与坐标轴不平行的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，其中 M 为 A
2、 关于 y 轴的对称(1，32)点， N(0， )， O 为坐标原点2(1)求椭圆 C 的方程；(2)分别记 PAO， PBO 的面积为 S1， S2，当 M， N， B 三点共线时，求 S1S2的最大值解 (1) ， a2 b2 c2， a2 b.ca 322把点 P 代入椭圆方程可得 1，(1，32) 1a2 34b2解得 a2， b1，椭圆方程为 y21.x24(2)设点 A 坐标为( x1， y1)，点 B 坐标为( x2， y2)，则 M 为( x1， y1)，设直线 l 的方程为 y kx b，联立椭圆方程可得(4 k21) x28 kbx4 b240， x1 x2 ， x1x2
3、， 0， 8kb4k2 1 4b2 44k2 1 M， N， B 三点共线， kMN kBN，即 0，y1 2x1 y2 2x2化简得 8k(1 b)0，2解得 b 或 k0(舍去)22设 A， B 两点到直线 OP 的距离分别为 d1， d2.直线 OP 的方程为 x2 y0，| OP| ，372 S1S2 |( x12 y1)( x22 y2)|，116 3 3化简可得S1S2 |(2k )2x1x2 (2k )(x1 x2)2|116 3 2 3 .|14 3k4k2 1|又 ，3k4k2 1 34， 0) (0， 34当 k 时， S1S2的最大值为 .12 3 14思维升华 解决范围
4、问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域跟踪演练 1 (2018绍兴市柯桥区模拟)已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，直线l： y kx4(1 ，得 4 217 40，S1S2 S2S1174 (S1S2) S1S2解得 4 或 0，解得 k0)的焦点 F，与抛物线 4相交于 A， B 两点，且| AB|8.(1)求抛物线 的方程；(2)过点 P(12,8)的两条直线 l1， l2分别交抛物线 于点
5、 C， D 和 E， F，线段 CD 和 EF 的中点分别为 M， N.如果直线 l1与 l2的倾斜角互余，求证：直线 MN 经过一定点(1)解 由题意可设直线 AB 的方程为 y x ，p2由Error! 消去 y 整理得 x23 px 0，p24 9 p24 8 p20，p24令 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x23 p，由抛物线的定义得| AB| x1 x2 p4 p8， p2.抛物线的方程为 y24 x.(2)证明 设直线 l1， l2的倾斜角分别为 ， ，由题意知， ， . 26直线 l1的斜率为 k，则 ktan .直线 l1与 l2的倾斜角互余，tan ta
6、n ( 2 )sin( 2 )cos( 2 ) ，cos sin 1sin cos 1tan 直线 l2的斜率为 .1k直线 CD 的方程为 y8 k(x12)，即 y k(x12)8.由Error!消去 x 整理得 ky24 y3248 k0，设 C(xC， yC)， D(xD， yD)， yC yD ，4k xC xD24 ，4k2 16k点 M 的坐标为 .(122k2 8k， 2k)以 代替点 M 坐标中的 k，1k可得点 N 的坐标为(122 k28 k,2k)， kMN .2(1k k)2(1k2 k2) 8(1k k)11k k 4直线 MN 的方程为y2 k x(122 k28
7、 k)，11k k 4即 y x10，(1k k 4)显然当 x10 时， y0，故直线 MN 经过定点 .(10， 0)热点三 探索性问题1解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通7常采用“肯定顺推法” ，将不确定性问题明确化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在2反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法例 3 已知椭圆 C： 1( ab0)的上、下焦点分别为 F1， F2，上焦点 F1到直线y2a
8、2 x2b24x3 y120 的距离为 3，椭圆 C 的离心率 e .12(1)求椭圆 C 的方程；(2)椭圆 E： 1，设过点 M(0,1)，斜率存在且不为 0 的直线交椭圆 E 于 A， B 两点，y2a2 3x216b2试问 y 轴上是否存在点 P，使得 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，PM (PA |PA |PB |PB |)说明理由解 (1)由已知椭圆 C 的方程为 1( ab0)，y2a2 x2b2设椭圆的焦点 F1(0， c)，由 F1到直线 4x3 y120 的距离为 3，得 3，|3c 12|5又椭圆 C 的离心率 e ，所以 ，12 ca 12又 a2 b2 c2，
9、求得 a24， b23.椭圆 C 的方程为 1.y24 x23(2)存在理由如下：由(1)得椭圆 E： 1，x216 y24设直线 AB 的方程为 y kx1( k0)，联立Error!消去 y 并整理得(4 k21) x28 kx120， (8 k)24(4 k21)12256 k2480.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .8k4k2 1 124k2 1假设存在点 P(0， t)满足条件，8由于 ，PM (PA |PA |PB |PB |)所以 PM 平分 APB.所以直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补，所以 kPA kPB0.即 0，y1 t
10、x1 y2 tx2即 x2(y1 t) x1(y2 t)0.(*)将 y1 kx11， y2 kx21 代入(*)式，整理得 2kx1x2(1 t)(x1 x2)0，所以2 k 0，124k2 1 1 t 8k4k2 1整理得 3k k(1 t)0，即 k(4 t)0，因为 k0，所以 t4.所以存在点 P(0,4)，使得 .PM (PA |PA |PB |PB |)思维升华 解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和
11、结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径跟踪演练 3 已知椭圆 C： 1( ab0)经过点 M(2， )，且离心率为 .x2a2 y2b2 2 22(1)求 a， b 的值，并写出椭圆 C 的方程；(2)设 A， B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，在椭圆 C 上有异于 A， B 的动点 P，若直线 PA， PB与直线 l： x m(m 为常数)分别交于不同的两点 M， N，则当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆是否经过定点？解 (1)由题知， 1， ， a2 b2 c2，4a2 2b2 ca 22解得 a2 ， b2，2椭圆 C 的方程为 1.x28 y24(2)由(1)
12、知， A(2 ，0)， B(2 ，0)，2 29设直线 PA， PB 的斜率分别为 k1， k2，则直线 PA， PB 的方程分别为 y k1(x2 )，2y k2(x2 )，2 M(m， k1(m2 )， N(m， k2(m2 )，2 2根据射影定理知，以 MN 为直径的圆的方程为( x m)2 y k1(m2 )y k2(m2 )2 20，即( x m)2 y2 k1(m2 ) k2(m2 )y k1k2(m28)0，2 2设点 P(x0， y0)，则 1， y 4 ，x208 y204 20 (1 x208) k1k2 ，y0x0 22 y0x0 22 y20x20 8 12( x m)
13、2 y2 k1(m2 ) k2(m2 )y (m28)0，2 212由 y0，得( x m)2 (m28)0，12( x m)2 (m28)12当 m280.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x21，2k2 4k2所以| AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x2 1 k2 (2k2 4k2 )2 4 .41 k2k2同理可得| DE|4(1 k2)所以| AB| DE| 4(1 k2)41 k2k24 (1k2 1 1 k2)84 84216，(k21k2)当且仅当 k2 ，即 k1 时，取得等号1k22(2018浙江)如图，已知点
14、 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C： y24 x 上存在不同的两点 A， B 满足 PA， PB 的中点均在 C 上(1)设 AB 中点为 M，证明： PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 x2 1( x0)与抛物线 C2： y22 ax 相交于 A， B 两点，且两曲线的焦点 Fx2a2 y23重合(1)求 C1， C2的方程；(2)若过焦点 F 的直线 l 与椭圆分别交于 M， Q 两点，与抛物线分别交于 P， N 两点，是否存在斜率为 k(k0)的直线 l，使得 2？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由|PN|MQ|押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设
15、置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色解 (1)因为 C1， C2的焦点重合，所以 ，a2 3a2所以 a24.又 a0，所以 a2.于是椭圆 C1的方程为 1，x24 y23抛物线 C2的方程为 y24 x.(2)假设存在直线 l 使得 2，|PN|MQ|12当 l x 轴时，| MQ|3，| PN|4，不符合题意，直线 l 的斜率存在，可设直线 l 的方程为 y k(x1)( k0)， P(x1， y1)， Q(x2， y2)， M(x3， y3)， N(x4， y4)由Error! 可得 k2x2(2 k24) x k20，则 x1 x4
16、， x1x41，且 16 k2160，2k2 4k2所以| PN| 1 k2 x1 x42 4x1x4 .41 k2k2由Error! 可得(34 k2)x28 k2x4 k2120，则 x2 x3 ， x2x3 ，8k23 4k2 4k2 123 4k2且 144 k21440，所以| MQ| .1 k2 x2 x32 4x2x3121 k23 4k2若 2，则 2 ，|PN|MQ| 41 k2k2 121 k23 4k2解得 k .62故存在斜率为 k 的直线 l，使得 2.62 |PN|MQ|A 组 专题通关1已知椭圆 1( ab0)的离心率 e ，左、右焦点分别为 F1， F2，且 F
17、2与抛物线x2a2 y2b2 33y24 x 的焦点重合(1)求椭圆的标准方程；(2)若过 F1的直线交椭圆于 B， D 两点，过 F2的直线交椭圆于 A， C 两点，且 AC BD，求|AC| BD|的最小值解 (1)抛物线 y24 x 的焦点坐标为(1,0)，所以 c1，又因为 e ，所以 a ，ca 1a 33 3所以 b22，所以椭圆的标准方程为 1.x23 y22(2)当直线 BD 的斜率 k 存在且 k0 时，直线 BD 的方程为 y k(x1)，13代入椭圆方程 1，x23 y22并化简得 x26 k2x3 k260.(3k2 2) 36 k44(3 k22)(3 k26)48(
18、 k21)0 恒成立设 B(x1， y1)， D(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，6k23k2 2 3k2 63k2 2|BD| |x1 x2|1 k2 .(1 k2)x1 x22 4x1x243(k2 1)3k2 2由题意知 AC 的斜率为 ，1k所以| AC| .43(1k2 1)31k2 2 43(k2 1)2k2 3|AC| BD|4 3(k2 1)(13k2 2 12k2 3) 203(k2 1)2(3k2 2)(2k2 3) 203(k2 1)2(3k2 2) (2k2 3)2 2 .203(k2 1)225k2 124 1635当且仅当 3k222 k23，即 k
19、1 时，上式取等号，故| AC| BD|的最小值为 .1635当直线 BD 的斜率不存在或等于零时，可得| AC| BD| .1033 1635综上，| AC| BD|的最小值为 .16352(2018诸暨市适应性考试)已知 F 是抛物线 C： x22 py(p0)的焦点，过 F 的直线交抛物线 C 于不同的两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1x21.(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 B 作 x 轴的垂线交直线 AO(O 为坐标原点)于点 D，过点 A 作直线 DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为 E， AE 的中点为 G.求点 D 的纵坐标；14求 的取值范围|GB
20、|DG|解 (1)设 AB： y kx ，p2联立Error! 得 x22 p ，(kxp2)即 x22 pkx p20， x1x2 p21， p1，抛物线 C 的方程为 x22 y.(2)直线 OA 的方程为 y x x，y1x1 x12 D ，即 D ，(x2，x1x22 ) (x2， 12)点 D 的纵坐标为 .12 kDF ， kAE x2，1x2即直线 AE 的方程为 y y1 x2(x x1)，联立Error! 得 x2x y110，x22 xE2 x2 x1， G(x2,2y2 y11) G， B， D 三点共线， ，|GB|DG| y2 y1 12y2 y1 32 y1y2 ，
21、14 2 2|DG|GB|y1 1214y1 y1 1 y1y1 122 (1,2)，11 12y1 .|GB|DG| (12， 1)3(2018全国)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： 1 交于 A， B 两点，线段 AB 的x24 y23中点为 M(1， m)(m0)(1)证明： kb0)的上顶点为点 D，右焦点为 F2(1,0)，延长 DF2交椭圆 Cx2a2 y2b2于点 E，且满足| DF2|3| F2E|.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F2作与 x 轴不重合的直线 l 和椭圆 C 交于 A， B 两点，设椭圆 C 的左顶点为点 H，且直线 HA， HB 分别与直线
22、 x3 交于 M， N 两点，记直线 F2M， F2N 的斜率分别为 k1， k2，则 k1与 k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由17解 (1)椭圆 C 的上顶点为 D ，右焦点 F2(1,0)，点 E 的坐标为( x， y)(0， b)| DF2|3| F2E|，可得 3 ，DF2 F2E 又 ， ，DF2 (1， b) F2E (x 1， y)Error! 代入 1，x2a2 y2b2可得 1，(43)2a2( b3)2b2又 a2 b21，解得 a22， b21，即椭圆 C 的标准方程为 y21.x22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， H ， M
23、 ，( 2， 0) (3， yM)N .(3， yN)由题意可设直线 AB 的方程为 x my1，联立Error! 消去 x，得 y22 my10，(m2 2) 4 m24( m22)0 恒成立Error!根据 H， A， M 三点共线，可得 ，yM3 2 y1x1 2 yM .y1(3 2)x1 2同理可得 yN ，y2(3 2)x2 2 M， N 的坐标分别为 ， ，(3， y1(3 2)x1 2)(3， y2(3 2)x2 2) k1k2 yMyNyM 03 1 yN 03 1 14 14 y1(3 2)x1 2 y2(3 2)x2 2y1y23 224(my1 1 2)(my2 1 2
24、)y1y23 224m2y1y2 (1 2)m(y1 y2) (1 2)218 11 62m2 24 m2m2 2 2(1 2)m2m2 2 3 22 . 11 62m2 246 42m2 2 42 98 k1与 k2之积为定值，且该定值是 .42 986已知平面上动点 P 到点 F 的距离与到直线 x 的距离之比为 ，记动点 P 的轨(3， 0)433 32迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)设 M 是曲线 E 上的动点，直线 l 的方程为 mx ny1.(m， n)设直线 l 与圆 x2 y21 交于不同两点 C， D，求| CD|的取值范围；求与动直线 l 恒相切的定椭圆 E的
25、方程，并探究：若 M 是曲线 ： Ax2 By21(m， n)上的动点，是否存在与直线 l： mx ny1 恒相切的定曲线 ？若存在，直接(AB 0)写出曲线 的方程；若不存在，说明理由解 (1)设 P(x， y)，由题意，得 .(x 3)2 y2|x 433| 32整理，得 y21，曲线 E 的方程为 y21.x24 x24(2)圆心到直线 l 的距离 d ，1m2 n2直线与圆有两个不同交点 C， D，| CD|24 .(11m2 n2)又 n21( m0)，m24| CD|24 .(143m2 4)| m|2，0 m24，01 .43m2 4 34| CD|2 ，| CD| ，(0， 3
26、 (0， 3即| CD|的取值范围为 .(0， 319当 m0， n1 时，直线 l 的方程为 y1；当 m2， n0 时，直线 l 的方程为 x .12根据椭圆对称性，猜想 E的方程为 4x2 y21.下面证明：直线 mx ny1 与 4x2 y21 相切，(n 0)其中 n21，即 m24 n24.m24由Error! 消去 y 得x22 mx1 n20，(m2 4n2)即 4x22 mx1 n20， 4 m216 4 0 恒成立，从而直线 mx ny1 与椭圆(1 n2) (m2 4n2 4)E：4 x2 y21 恒相切若点 M 是曲线 ： Ax2 By21 上的动点，则直线 l： mx ny1 与定曲线(m， n) (AB 0) ： 1 恒相切x2A y2B (AB 0)
