1、1【课时训练】正弦定理、余弦定理一、选择题1(2018 河北保定模拟)在 ABC中，已知 a， b， c分别为 A， B， C所对的边，且 a4， b4 ， A30 ，则 B等于( )3A30 B30或 150C60 D60或 120【答案】D【解析】sin B ，又因为 b a，所以 B有两个解，所以bsin Aa 43sin 304 32 B60或 120.故选 D.2(2018 西安模拟)设 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 bcos C ccos B asin A，且 sin2Bsin 2C，则 ABC的形状为( )A等腰三角形 B锐角三角形C直角三角形
2、D等腰直角三角形【答案】D【解析】由 bcos C ccos B asin A，得 sin Bcos Csin Ccos Bsin 2A，sin( B C)sin 2A，即 sin Asin 2A.在三角形中，sin A0，sin A1. A90，由 sin2Bsin 2C，知 b c，综上可知 ABC为等腰直角三角形3(2018 重庆巴蜀中学期中)在 ABC中，已知 b40， c20， C60，则此三角形的解的情况是( )A有一解 B有两解C无解 D有解但解的个数不确定【答案】C【解析】由正弦定理，得 ，sin B 1.bsin B csin C bsin Cc 403220 3角 B不存在
3、，即满足条件的三角形不存在4(2018 安徽安庆二模)设角 A， B， C是 ABC的三个内角，则“ A B C”是“ ABC是钝角三角形”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由 A B C， A B C，可得 C ，故三角形 ABC为钝角三角形，反之2不成立25(2018 河北衡水调研)在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c，若c1， B45，cos A ，则 b( )35A B53 107C D57 5214【答案】C【解析】因为 cos A ，所以 sin A ，所以 sin 35 1 cos2A 1 (3
4、5)2 45Csin180( A B)sin( A B)sin Acos Bcos Asin B cos 45 sin 4545 35 .由正弦定理 ，得 b sin 45 .故选 C.7210 bsin B csin C 17210 57二、填空题6(2018 辽宁五校联考)设 ABC的内角 A， B， C所对边的长分别为 a， b， c，若b c2 a,3sin A5sin B，则角 C_.【答案】23【解析】因为 3sin A5sin B，所以由正弦定理可得 3a5 b.因为 b c2 a，所以 c2 a a a.35 75令 a5， b3， c7，则由余弦定理 c2 a2 b22 ab
5、cos C，得 49259235cos C，解得 cos C ，所以 C .12 237(2018 济南模拟)在 ABC中， a3 ， b2 ，cos C ，则 ABC的面积为2 313_【答案】4 3【解析】cos C ，00，sin A cos A，3即 tan A .30 A， A .3由余弦定理，得 a216 b2 c22 bccos A( b c)23 bc( b c)23 2，(b c2 )则( b c)264，即 b c8(当且仅当 b c4 时取等号)， ABC周长 a b c4 b c12，即最大值为 12.三、解答题412(2018 太原模拟)已知 a， b， c分别是 A
6、BC的内角 A， B， C所对的边，且c2， C .3(1)若 ABC的面积等于 ，求 a， b；3(2)若 sin Csin( B A)2sin 2 A，求 A的值【解】(1)因为 c2， C ，3所以由余弦定理得4 a2 b22 abcos a2 b2 ab.3因为 ABC的面积等于 ，3所以 absin C ，所以 ab4，12 3联立Error!解得 a2， b2.(2)因为 sin Csin( B A)2sin 2 A，所以 sin(B A)sin( B A)4sin Acos A，所以 sin B cos A2sin A cos A，当 cos A0 时， A ；2当 cos A0
7、 时，sin B2sin A，由正弦定理得 b2 a，联立Error!解得a ， b ，所以 b2 a2 c2.因为 C ， 所以 A .综上所述， A 或 A .233 433 3 6 2 613(2018 辽宁五校上学期联考)在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且a2( b c)2(2 )bc，sin Asin Bcos 2 ， BC边上的中线 AM的长为 .3C 7(1)求角 A和角 B的大小；(2)求 ABC的面积【解】(1)由 a2( b c)2(2 )bc，3得 a2 b2 c2 bc，3cos A .b2 c2 a22bc 32又 0 A， A .6由 sin Asin Bcos 2 ，C2得 sin B ，12 1 cos C2即 sin B1cos C，则 cos C0，即 C为钝角， B为锐角，且 B C .则 sin 1cos C，56 (56 C)化简，得 cos 1，解得 C ， B .(C3) 23 65(2)由(1)知 a b，由余弦定理，得 AM2 b2 22 b cos C b2 ( )(a2) a2 b24 b22 72，解得 b2，故 S ABC absin C 22 .12 12 32 3
