1、1【课时训练】解三角形的综合应用一、选择题1(2018 济南调研)一艘海轮从 A处出发，以每小时 40海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B处，在 C处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B， C两点间的距离是( )A10 海里 B10 海里2 3C20 海里 D20 海里3 2【答案】A【解析】如图所示，易知，在 ABC中， AB20， CAB30， ACB45，根据正弦定理，得 ，BCsin 30 ABsin 45解得 BC10 .22(2018 河南信阳模拟)如图， D， C， B在地平面同一直线上，
2、 DC10 m，从 D， C两地测得 A点的仰角分别为 30和 45，则 A点离地面的高 AB等于( )A10 m B5 m3C5( 1)m D5( 1)m3 3【答案】D【解析】 10，解得 AB5( 1)故选 D.ABtan 30 ABtan 45 33(2019 内蒙古包头调研)一船向正北航行，看见正西方向相距 10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速度是每小时( )A5 海里 B5 海里3C10 海里 D10 海里3【答案】C2【解析】如图所示，依题意有 BAC60， BAD75，所以 CAD CD
3、A15.从而 CD CA10，在 Rt ABC中，得 AB5，于是这艘船的速度是 10(海里/小时)50.54(2018 福州质检)如图，两座相距 60 m的建筑物 AB， CD的高度分别为 20 m,50 m， BD为水平面，则从建筑物 AB的顶端 A看建筑物 CD的张角为( )A30 B45C60 D75【答案】B【解析】依题意可得 AD20 ， AC30 ，10 5又 CD50，所以在 ACD中，由余弦定理，得 cos CADAC2 AD2 CD22ACAD . 305 2 2010 2 50223052010 6 0006 0002 22又 0 CAD180，所以 CAD45.所以从顶
4、端 A看建筑物 CD的张角为 45.5(2018 厦门模拟)在不等边三角形 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，其中 a为最大边，如果 sin2(B C)sin 2Bsin 2C，则角 A的取值范围是( )A B(0，2) (4， 2)C D(6， 3) (3， 2)【答案】D【解析】由题意得 sin2Asin 2Bsin 2C，再由正弦定理得 a2 b2 c2，即b2 c2 a20.则 cos A 0，因为 0 A，所以 0 A .又 a为最大边，b2 c2 a22bc 2所以 A .因此角 A的取值范围是 .故选 D.3 (3， 2)6(2018 天津新华中学期末)
5、一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A测得水柱顶端的仰角为 45，沿点A向北偏东 30前进 100 m到达点 B，在 B点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度3是( )A50 m B100 mC120 m D150 m【答案】A【解析】设水柱的高度是 h m，水柱底端为点 C，在 Rt BCD中， CBD30， BCh.3在 ABC中， BAC60， AC h， AB100，根据余弦定理，得( h)32 h2100 22 h100cos 60，即 h250 h5 0000，即( h50)( h100)0，即h50，故水柱的高度是
6、50 m.二、填空题7(2018 宜昌调研)江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m.【答案】10 3【解析】如图， OM AOtan 4530(m)，ON AOtan 30 3010 (m)，33 3在M ON中，由余弦定理，得MN900 300 23010332 10 (m)300 38(2018 山西第三次四校联考)如图，一艘船上午 9：30 在 A处测得灯塔 S在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B处，此时又测得灯塔S在它的北
7、偏东 75处，且与它相距 8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.24【答案】32【解析】设航速为 v n mile/h，在 ABS中， AB v， BS8 ， BSA45，12 2由正弦定理，得 ， v32.82sin 30 12vsin 459(2018 贵阳模拟)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB， C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO的小路 CD.已知某人从 O沿 OD走到 D用了2分钟，从 D沿 DC走到 C用了 3分钟若此人步行的速度为每分钟 50米，则该扇形的半径为_米【答案】50 7【解析】如图，连接 OC，在 OCD中， OD1
8、00， CD150， CDO60.由余弦定理，得 OC2100 2150 22100150cos 6017 500，解得 OC50 .710(2017 浙江，14)已知 ABC， AB AC4， BC2.点 D为 AB延长线上一点，BD2，连接 CD，则 BDC的面积是_，cos BDC_.【答案】 ，152 104【解析】取 BC的中点 E， DC的中点 F，由题意，得 AE BC， BF CD， ABE中，cos ABC ，BEAB 14cos DBC ，sin DBC .14 1 116 1545 S BCD BDBCsin DBC .12 152又 cos DBC12sin 2 DBF
9、 ，14sin DBF ，104cos BDCsin DBF .104综上可得， BCD面积为 ，cos BDC .152 104三、解答题11(2018 湖北七市联考)已知 ABC，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， C120.(1)若 c1，求 ABC面积的最大值；(2)若 a2 b，求 tan A.【解】(1)由余弦定理得 a2 b22 abcos 1201， a2 b2 ab12 ab ab3 ab，当且仅当 a b时取等号，解得 ab .故 S13ABC absin C ab ，12 34 312即 ABC面积的最大值为 .312(2)因为 a2 b，所以由正弦定理得 sin A2sin B，又 C120， 所以 A B60，所以 sin A2sin(60 A) cos Asin A， cos A2sin A，所以 tan A .3 332
