1、1【课时训练】圆锥曲线的综合问题一、选择题1(2018 昆明两区七校调研)过抛物线 y2 x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，且直线 l 的倾斜角 ，点 A 在 x 轴上方，则| AF|的取值范围是( ) 4A. B.(14， 1 (14， )C. D.(12， ) (14， 1 22【答案】D【解析】记点 A 的横坐标是 x1，则有| AF| x1 | AF|cos 14 (14 |AF|cos ) 14 12 ，| AF|(1 cos ) ，| AF| .12 12 1 cos 由 0， b0)的左，右焦点，x2a2 y2b2对于左支上任意一点 P 都有| PF2|28
2、 a|PF1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是( )A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2【答案】C【解析】由 P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得| PF2|2 a| PF1|，所以 | PF1| 4 a8 a.|PF2|2|PF1| 4a2|PF1|所以| PF1|2 a，| PF2|4 a.在 PF1F2中，| PF1| PF2| F1F2|，即 2a4 a2 c，所以 e 3.ca又 e1，所以 10，得 m22， ，1m 212 1m 2 121 ，即 e .1m 212 2112而 0b0)的右顶点为 A(1,0)，过 C1y2a2 x2b2的
3、焦点且垂直长轴的弦长为 1.(1)求椭圆 C1的方程；(2)设点 P 在抛物线 C2： y x2 h(hR)上， C2在点 P 处的切线与 C1交于点 M， N.当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值【解】(1)由题意，得Error!解得Error!因此，所求椭圆 C1的方程为 x21.y24(2)如图，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， P(t， t2 h)，则抛物线 C2在点 P 处的切线斜率为 y| x t2 t.直线 MN 的方程为 y2 tx t2 h.将上式代入椭圆 C1的方程中，得 4x2(2 tx t2 h)240，即 4(1 t2)x
4、24 t(t2 h)x( t2 h)240. 因为直线 MN 与椭圆 C1有两个不同的交点，所以式中的 116 t42( h2) t2 h240. 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3，则 x3 .x1 x22 t t2 h2 1 t2设线段 PA 的中点的横坐标是 x4，则 x4 .t 12由题意，得 x3 x4，即 t2(1 h)t10.由式中的 2(1 h)240，得 h1 或 h3.4当 h3 时， h2b0)的离心率 e ，短轴长为x2a2 y2b2 222 .2(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为 A，过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P， Q
5、 两点，直线 PA， QA 分别与 y 轴交于 M， N 两点试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论5【解】(1)由短轴长为 2 ，得 b ，2 2由 e ，得 a24， b22，ca a2 b2a 22所以椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y22(2)以 MN 为直径的圆过定点 F( ，0)2证明如下：设 P(x0， y0)，则 Q( x0， y0)，且 1，即 x 2 y 4，x204 y202 20 20因为 A(2,0)，所以直线 PA 方程为 y (x2)y0x0 2所以 M .直线 QA 方程为 y (x2)，所以 N .以 MN 为直径的
6、(0，2y0x0 2) y0x0 2 (0， 2y0x0 2)圆为(x0)( x0) 0.(y2y0x0 2)(y 2y0x0 2)即 x2 y2 y 0.4x0y0x20 4 4y20x20 4因为 x 42 y ，所以 x2 y22 y20，20 20x0y0令 y0，则 x220，解得 x .2所以以 MN 为直径的圆过定点 F( ，0)28(2018 安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆 E： 1( ab0)的离心率为 ，x2a2 y2b2 33点( ， )为椭圆上的一点3 2(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若斜率为 k 的直线 l 过点 A(0,1)，且与椭圆 E 交于 C， D
7、 两点， B 为椭圆 E 的下顶点，求证：对于任意的 k，直线 BC， BD 的斜率之积为定值(1)【解】因为 e ，所以 c a， a2 b2 2.33 33 (33a)又椭圆过点( ， )，所以 1.3 23a2 2b26由，解得 a26， b24，所以椭圆 E 的标准方程为 1.x26 y24(2)【证明】设直线 l： y kx1，联立Error!得(3 k22) x26 kx90.设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，则x1 x2 ， x1x2 ，6k3k2 2 93k2 2易知 B(0，2)，故 kBCkBD y1 2x1 y2 2x2 kx1 3x1 kx2 3x2 k2
8、k2x1x2 3k x1 x2 9x1x2 3k x1 x2x1x2 9x1x2 k23 k (3 k22)2.2k3所以对于任意的 k，直线 BC， BD 的斜率之积为定值9(2018 吉林一中等五校联考)已知椭圆 C： 1( a b0)的两个焦点与短轴的x2a2 y2b2一个端点连线构成等边三角形，且椭圆 C 的短轴长为 2 .3(1)求椭圆 C 的标准方程(2)是否存在过点 P(0,2)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M， N，且满足 2( O 为坐标原点)？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由OM ON 【解】(1)由题意得Error!解得Error!椭圆 C
9、的标准方程是 1.x24 y23(2)当直线 l 的斜率不存在时， M(0， )，3N(0， )，3 3，不符合题意OM ON 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y kx2，M(x1， y1)， N(x2， y2)由Error!消去 y 整理得(34 k2)x216 kx40， (16 k)216(34 k2)0，解得 k 或 k .12 12x1 x2 ， x1x2 ，16k3 4k2 43 4k2 x1x2 y1y2(1 k2)x1x22 k(x1 x2)4 4OM ON 4 1 k23 4k2 32k23 4k2.16 12k23 4k27 2, 2，OM ON 16 12k23 4k2解得 k ，满足 0，故存在符合题意的直线，其方程为 k x2.22 22
