1、1第 3 章 三角函数、解三角形 第 7 讲A 组 基础关1如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 80 D南偏西 80答案 D解析 由题意可知 ACD40， DCB60.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等， CA CB， CAB CBA. ACD40， DCB60， CAB CBA (1804060)40.12 BCD60， CDB90， CBD906030， DBA403010.故灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.2如图
2、所示，为了测量某湖泊两侧 A， B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A， B 不共线的一点 C( ABC 的角 A， B， C 所对的边分别记为 a， b， c)，然后给出了三种测量方案：测量 A， C， b；测量 a， b， C；测量 A， B， a.则一定能确定 A， B 间的距离的所有方案的序号为( )A B C D答案 D解析 知两角一边可用正弦定理解三角形，故方案可以确定 A， B 间的距离，知两边及其夹角可用余弦定理解三角形，故方案可以确定 A， B 间的距离3(2019东北三校联考)如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站
3、C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A与灯塔 B 的距离为( )2A a km B. a km C2 a km D. a km2 3答案 D解析 由图可知 ACB1802040120，在 ABC 中，由余弦定理得AB2 AC2 BC22 ACBCcos ACB a2 a22 a2 3 a2.(12)所以 AB a，即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 a km.3 34如图所示，一座建筑物 AB 的高为(3010 ) m，在该建筑物的正东方向有一座通3信塔 CD.在它们之间的地面上的点 M(B， M， D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15和 6
4、0，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则通信塔 CD 的高为( )A30 m B60 mC30 m D40 m3 3答案 B解析 在 Rt ABM 中， AM 20 (m)过点 A 作ABsin AMB 30 103sin15 30 1036 24 6AN CD 于点 N，如图所示易知 MAN AMB15，所以 MAC301545.又 AMC1801560105，所以 ACM30.在 AMC 中，由正弦定理得 ，解得 MC40 (m)在 Rt CMD 中， CD40 sin6060(m)，故MCsin45 206sin30 3 3通信塔 CD 的高为 60 m.5如图，据气象部门预报
5、，在距离某码头南偏东 45方向 600 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内(含 450 km)的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )3A10 h B15 h C10 h D20 h2答案 B解析 记现在热带风暴中心的位置为点 A， t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置，在OAB 中， OA600， AB20 t， OAB45，根据余弦定理得OB2600 2400 t2260020 t ，令 OB2450 2，即 4t2120 t15750，解得22 2 t ，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302 152
6、 302 152 15.302 152 302 1526如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15方向，与海轮相距 20 n mile 的 B 处，海轮按北偏西 60的方向航行了 30 min 后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75的方向上，则海轮的速度为_ n mile/min.( )A. B. C3 D1063 62 6 6答案 A解析 由已知得 ACB45， B60，由正弦定理得 ，ACsinB ABsin ACB所以 AC 10 ，ABsinBsin ACB 20sin60sin45 6所以海轮航行的速度为 (n mile/min)10630 637如图，测
7、量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与D，测得 BCD15， BDC30， CD30，并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB 等于( )4A5 B15 C5 D156 3 2 6答案 D解析 在 BCD 中， CBD1801530135.由正弦定理得 ，BCsin30 30sin135所以 BC15 .2在 Rt ABC 中， AB BCtan ACB15 15 .2 3 68(2018惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 A 处测得 DA
8、C15，沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得 DBC45，根据以上数据可得 cos _.答案 13解析 由 DAC15， DBC45，可得 DBA135， ADB30.在 ABD 中，根据正弦定理可得 ，即 ，ABsin ADB BDsin BAD 50sin30 BDsin15所以 BD100sin15100sin(4530)25( )6 2在 BCD 中，由正弦定理得 ，CDsin DBC BDsin BCD即 ，解得 sin BCD 1.25sin4525 6 2sin BCD 3所以 cos cos( BCD90)sin BCD 1.3B 组 能力关1如图所示，为了了解某海域海底
9、构造，在海平面上取一条直线上的 A， B， C 三点进行测量，已知 AB50 m， BC120 m，于 A 处测得水深 AD80 m，于 B 处测得水深BE200 m，于 C 处测得水深 CF110 m，则 DEF 的余弦值为( )5A. B. C. D.1665 1965 1657 1757答案 A解析 如图所示，作 DM AC 交 BE 于 N，交 CF 于 M，则DF 10 (m)， DE 130(m)，MF2 DM2 302 1702 298 DN2 EN2 502 1202EF BE FC 2 BC2 150(m)902 1202在 DEF 中，由余弦定理，得cos DEFDE2 E
10、F2 DF22DEEF .1302 1502 1022982130150 16652为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( )A. km23 64B. km23 64C. km26 34D. km26 34答案 D解析 连接 AC，根据余弦定理可得 AC km，故 ABC 为直角三角形，且3 ACB90， BAC30，故 ADC 为等腰三角形，设 AD DC x km，根据余弦定理得6x2 x2 x23，即 x2 3(2 )，所以所求的面积为 1 3(2332 3 3 12 3 12) (km2)312 23 6 334 6 343(2018湖北武汉模
11、拟) A， B 是海面上位于东西方向相距 5(3 )海里的两个观测3点现位于 A 点北偏东 45， B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里3/小时，该救援船到达 D 点需要的时间为_小时答案 1解析 由题意知 AB5(3 )海里， DBA906030， DAB45，所以3 ADB105.在 DAB 中，由正弦定理得 ，DBsin DAB ABsin ADB所以 DB 10 (海里)ABsin DABsin ADB 5 3 3 sin45sin105 3又 DBC DBA ABC30(9060)60，BC20 海里，3在 DBC 中，由余弦定理得CD2 BD2 BC22 BDBCcos DBC3001200210 20 900，3 312所以 CD30 海里，则该救援船到达 D 点需要的时间t 1(小时)30307
