1、11椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 1( ab0)的参数方程是Error!( 为参x2a2 y2b2数)，规定参数 的取值范围是0,2)(2)中心在( h， k)的椭圆普通方程为 1，则其参数方程为Error!( (x h)2a2 (y k)2b2为参数)椭圆的参数方程的应用：求最值例 1 已知曲线 C： 1，直线 l：Error!( t 为参数)x24 y29(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求| PA|的最大值与最小值思路点拨 (1)由椭圆的参数方程公
2、式，求椭圆的参数方程，由换元法求直线的普通方程(2)将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化为三角函数求最值问题解 (1)曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l 的普通方程为 2x y60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为 d |4cos 3sin 55 6|.则| PA| |5sin( )6|，dsin 30255其中 为锐角，且 tan .43当 sin( )1 时，| PA|取得最大值，最大值为 .2255当 sin( )1 时，| PA|取得最小值，最小值为 .2552利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是
3、利用辅助角公式转化为三角函数求解1已知椭圆 1，点 A 的坐标为(3,0)在椭圆上找一点 P，使点 P 与点 A 的距x225 y216离最大解：椭圆的参数方程为Error!( 为参数)设 P(5cos ，4sin )，则|PA| (5cos 3)2 (4sin )2 9cos2 30cos 25 |3cos 5|8，(3cos 5)2当 cos 1 时，| PA|最大此时，sin 0，点 P 的坐标为(5,0).椭圆参数方程的应用：求轨迹方程例 2 已知 A， B 分别是椭圆 1 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，x236 y29求 ABC 的重心 G 的轨迹方程思路点拨 由条件可
4、知， A， B 两点坐标已知，点 C 在椭圆上，故可设出点 P 坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解解 由题意知 A(6,0)、 B(0,3)由于动点 C 在椭圆上运动，故可设动点 C 的坐标为(6cos ，3sin )，点 G 的坐标设为( x， y)，由三角形重心的坐标公式可得Error!即 Error!消去参数 得 ABC 的重心 G 的轨迹方程为 ( y1) 21.(x 2)24本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便2已知椭圆方程是 1，点 A(6,6)， P 是椭圆上一动点，求线段 PA 中点 Q 的轨x216 y29迹
5、方程解：设 P(4cos ，3sin )， Q(x， y)，则有Error!即 Error!( 为参数)，39( x3) 216( y3) 236 即为所求3设 F1， F2分别为椭圆 C： 1( a b0)的左、右两个焦点x2a2 y2b2(1)若椭圆 C 上的点 A 到 F1， F2的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐(1，32)标；(2)设点 P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 F1P 的中点的轨迹方程解：(1)由椭圆上点 A 到 F1， F2的距离之和是 4，得 2a4，即 a2.又点 A 在椭(1，32)圆上，因此 1，得 b23，于是 c2 a2 b21，所以椭圆
6、C 的方程为 1，14 (32)2b2 x24 y23焦点坐标为 F1(1,0)， F2(1,0)(2)设椭圆 C 上的动点 P 的坐标为(2cos ， sin )，线段 F1P 的中点坐标为( x， y)，3则 x ， y ，所以 x cos ， sin .消去 ，得2cos 12 3sin 02 12 2y32 1 即为线段 F1P 中点的轨迹方程.(x12) 4y23椭圆参数方程的应用：证明问题例 3 已知椭圆 y21 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1， B2的连线分x24别交 x 轴于 P， Q 两点，求证：| OP|OQ|为定值思路点拨 利用参数方程，设出点 M 的坐标
7、，并由此得到直线 MB1， MB2的方程，从而得到 P， Q 两点坐标，求出| OP|，| OQ|，再求| OP|OQ|的值证明 设 M(2cos ，sin )， 为参数，因为 B1(0，1)， B2(0,1)，则 MB1的方程为 y1 x，sin 12cos 令 y0，则 x ，即| OP| .2cos sin 1 | 2cos 1 sin |MB2的方程为 y1 x，sin 12cos 令 y0，则 x .2cos 1 sin | OQ| .|2cos 1 sin | OP|OQ| 4.|2cos 1 sin | | 2cos 1 sin |4即| OP|OQ|4 为定值利用参数方程证明定
8、值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可4求证：椭圆Error!( ab0,0 2)上一点 M 与其左焦点 F 的距离的最大值为a c(其中 c2 a2 b2)证明： M， F 的坐标分别为( acos ， bsin )，( c,0)|MF|2( acos c)2( bsin )2 a2cos2 2 accos c2 b2 b2cos2 c2cos2 2 accos a2( a ccos )2.当 cos 1 时，| MF|2最大，| MF|最大，最大值为 a c.一、选择题1椭圆Error!( 为参数)，若
9、0,2，则椭圆上的点( a,0)对应的 ( )A B. 2C2 D. 32解析：选 A 在点( a,0)中， x a， a acos ，cos 1， .2参数方程Error!( 为参数)和极坐标方程 6cos 所表示的图形分别是( )A圆和直线 B直线和直线C椭圆和直线 D椭圆和圆解析：选 D 对于参数方程Error!( 为参数)，利用同角三角函数关系消去 化为普通方程为 y21，表示椭圆x24 6cos 两边同乘 ，得 26 cos ，化为普通方程为 x2 y26 x，即( x3) 2 y29.表示以(3,0)为圆心，3 为半径的圆53椭圆Error!( 为参数)的左焦点的坐标是( )A(
10、，0) B(0， )7 7C(5,0) D(4,0)解析：选 A 根据题意，椭圆的参数方程Error!( 为参数)化成普通方程为 1，x216 y29其中 a4， b3，则 c ，16 9 7所以椭圆的左焦点坐标为( ，0)74两条曲线的参数方程分别是Error!( 为参数)和Error!( t 为参数)，则其交点个数为( )A0 B1C0 或 1 D2解析：选 B 由Error!得 x y10(1 x0，1 y2)，由Error! 得 1.如图所示，可知两曲线交点有 1 个x29 y24二、填空题5椭圆Error!( 为参数)的离心率为_解析：由椭圆方程为 1，可知 a5， b4，x225
11、y216 c 3， e .a2 b2ca 35答案：356已知 P 为曲线 C：Error!( 为参数，0 )上一点， O 为坐标原点，若直线OP 的倾斜角为 ，则点 P 的坐标为_ 4解析：曲线 C 的普通方程为 1(0 y4)，易知直线 OP 的斜率为 1，其方程为y216 x29y x，联立Error! 消去 y，得 x2 ，16925故 x ，故 y ，125(x 125舍 去 ) 125所以点 P 的坐标为 .(125， 125)6答案： (125， 125)7已知椭圆的参数方程为Error!( 为参数)，点 M 在椭圆上，对应的参数 ， 3点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为_解
12、析：当 时，Error!故点 M 的坐标为(1,2 )所以直线 OM 的斜率为 2 . 3 3 3答案：2 3三、解答题8已知两曲线的参数方程分别为Error!(0 )和Error!( tR)，求它们的交点坐标解：将Error! (0 )化为普通方程得： y21(0 y1， x )，x25 5将 x t2， y t 代入得， t4 t210，解得 t2 ，54 516 45 t ， x t2 1，255 54 54 45两曲线的交点坐标为 .(1，255)9已知椭圆的参数方程为Error!( 为参数)，求椭圆上一点 P 到直线Error!( t 为参数)的最短距离解：设点 P(3cos ，2s
13、in )，直线Error!可化为 2x3 y100，点 P 到直线的距离 d .因为 sin 1,1，所|6cos 6sin 10|13 |62sin ( 4) 10|13 ( 4)以 d ，所以点 P 到直线的最短距离 dmin .10 6213 ， 10 6213 10 621310椭圆 1( a b0)与 x 轴正半轴交于点 A，若这个椭圆上总存在点 P，使x2a2 y2b2OP AP(O 为原点)，求离心率 e 的取值范围解：设椭圆的参数方程是Error!( 为参数)( a b0)，则椭圆上的点 P(acos ， bsin )， A(a,0) OP AP， 1，bsin acos bsin acos a即( a2 b2)cos2 a2cos b20.解得 cos 或 cos 1(舍去)b2a2 b27 a b，1cos 1，0 1.b2a2 b2把 b2 a2 c2代入得 0 1.a2 c2c2即 0 11，解得 e1.1e2 22故椭圆的离心率 e 的取值范围为 .22， 1)
