1、12-3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程1双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 1 的参数方程是Error!规定参数 的x2a2 y2b2取值范围为0,2)且 ， . 2 32(2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线 1 的参数方程是Error!y2a2 x2b22抛物线的参数方程(1)抛物线 y22 px 的参数方程为 Error!tR. (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数双曲线、抛物线参数方程的基本问题例 1 (1)双曲线Error!( 为参数)的焦点坐标是_(2)将方程Error!化为普通方程是_思路点拨 (1)可先将
2、方程化为普通方程求解；(2)利用代入法消去 t.解析 (1)将Error!化为 1，y236 x212可知双曲线焦点在 y 轴上，且 c 4 ，36 12 3故焦点坐标是(0，4 )3(2)由 y tan 2t，1 cos 2t1 cos 2t 2sin2t2cos2t将 tan t x 代入上式，得 y x2即为所求方程答案 (1)(0，4 ) (2) y x23(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义(2)对双曲线的参数方程，如果 x 对应的参数形式是 sec ，则焦点在 x 轴上；如果y 对应的参数形式是 sec ，则焦点在
3、y 轴上21若点 P(3， m)在以点 F 为焦点的抛物线Error!( t 为参数)上，则| PF|等于( )A2 B3C4 D5解析：选 C 抛物线的普通方程为 y24 x，准线为 x1，| PF|为 P(3， m)到准线x1 的距离，即为 4.2如果双曲线Error!( 为参数)上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么 P 到它的左焦点距离是_解析：由双曲线参数方程可知 a1，故 P 到它左焦点的距离| PF|10 或| PF|6.答案：10 或 6双曲线、抛物线参数方程的应用例 2 设直线 AB 过双曲线 1( a0， b0)的中心 O，与双曲线交于 A， B 两点，x2a2 y2b
4、2P 是双曲线上的任意一点求证：直线 PA， PB 斜率的乘积为定值思路点拨 先用双曲线的参数方程表示点 A， B， P 的坐标，再证 kPAkPB定值证明 如图所示，设 P ， A ， btan .直线 AB 过原点 O，(acos ， btan ) acos A， B 两点的坐标关于原点对称，则 B ，(acos ， btan )故 kPAkPB b(tan tan )a( 1cos 1cos )b(tan tan )a( 1cos 1cos )b2(tan2 tan2 )a2( 1cos2 1cos2 )b2(sin2 cos2 cos2 sin2 )a2(cos2 cos2 )b2(1
5、 cos2 )cos2 cos2 (1 cos2 )a2(cos2 cos2 ) ，为定值b2a2在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将 x， y 表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标33过点 A(1,0)的直线 l 与抛物线 y28 x 交于 M、 N 两点，求线段 MN 的中点的轨迹方程解：法一：设抛物线的参数方程为Error!( t 为参数)，可设 M(8t ，8 t1)， N(8t ，8 t2)，21 2则 kMN .8t2 8t18t2 8t21 1t1 t2又设 MN 的中点为
6、 P(x， y)，则Error! kAP ，4(t1 t2)4(toal(2,1) toal(2,2) 1由 kMN kAP，知 t1t2 ，18又Error!则 y216( t t 2 t1t2)16 4( x1)21 2 (x4 14)所求轨迹方程为 y24( x1)法二：设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，由 M， N 在抛物线 y28 x 上知Error!两式相减得 y y 8( x1 x2)，21 2即( y1 y2)(y1 y2)8( x1 x2)， .y1 y2x1 x2 8y1 y2设线段 MN 的中点为 P(x， y)， y1 y22 y.由 kPA ，又 k MN
7、 ，yx 1 y1 y2x1 x2 8y1 y2 4y . y24( x1)yx 1 4y线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 y24( x1)一、选择题1曲线Error!( t 为参数)的焦点坐标是( )A(1,0) B(0,1)C(1,0) D(0，1)解析：选 B 将参数方程化为普通方程( y1) 24( x1)，该曲线为抛物线 y24 x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)42已知抛物线的参数方程为Error!( t 为参数， p0)，点 A， B 在曲线上对应的参数分别为 t1和 t2，若 t1 t20，则| AB|等于( )A2 p(t1 t2) B2 p(t t
8、)21 2C2 p|t1 t2| D2 p(t1 t2)2解析：选 C 因为 x12 pt ， x22 pt ，所以 x1 x22 p(t t )21 2 21 22 p(t1 t2)(t1 t2)0，所以| AB| y2 y1|，又因为 y12 pt1， y22 pt2，所以|y2 y1|2 p|t1 t2|.故选 C.3方程Error!( t 为参数)的图形是( )A双曲线左支 B双曲线右支C双曲线上支 D双曲线下支解析：选 B x2 y2e 2t2e 2 t(e 2t2e 2 t)4.且xe te t2 2. 表示双曲线的右支ete t4 P 为双曲线Error!( 为参数)上任意一点，
9、 F1， F2为其两个焦点，则 F1PF2重心的轨迹方程是( )A9 x216 y216( y0)B9 x216 y216( y0)C9 x216 y21( y0)D9 x216 y21( y0)解析：选 A 由题意知 a4， b3，可得 c5，故 F1(5,0)， F2(5,0)，设 P(4sec ，3tan )，重心 M(x， y)，则x sec ， y tan . 5 5 4sec 3 43 0 0 3tan 3从而有 9x216 y216( y0)二、填空题5曲线Error!( t 为参数)与 x 轴的交点坐标是_解析：将曲线的参数方程化为普通方程为( x2) 29( y1)，令 y0
10、，得 x1 或x5，故交点坐标为(1,0)，(5,0)答案：(1,0)，(5,0)6双曲线Error!( 为参数)的两条渐近线的倾斜角为_解析：将参数方程化为 y2 1，此时 a1， b ，x23 3设渐近线倾斜角为 ，则 tan .13 33 30或 150.5答案：30或 1507点 P(1,0)到曲线Error!( t 为参数)上的点的最短距离为_解析：设点 P(1,0)到曲线上的点的距离为 d，则 d (x 1)2 (y 0)2 t211.所以点 P 到曲线上的点的距离的最小值为 1.(t2 1)2 (2t)2 (t2 1)2答案：1三、解答题8设 P 为等轴双曲线 x2 y21 上的
11、一点， F1和 F2为两个焦点，证明：|F1P|F2P| OP|2.证明：如图，设双曲线上的动点为 P(x， y)，焦点 F1( ，0)， F2( ，0)，双曲线2 2的参数方程为Error!则(| F1P|F2P|)2(sec )2tan 2 (sec )2tan 2 2 2(sec 2 2 sec 2tan 2 )(sec2 2 sec 2tan 2 )( sec 2 2 2 1) 2( sec 1) 2(2sec 2 1) 2.2又| OP|2sec 2 tan 2 2sec 2 1，由此得| F1P|F2P| OP|2.9求点 P(0,1)到双曲线 x2 y24 的最小距离解：设双曲线
12、 x2 y24 上任一点坐标为 M ，(2cos ， 2tan )则| PM|2 2(2tan 1) 2(2cos )4(1tan 2 )4tan 2 4tan 18tan 2 4tan 58 2 .(tan 14) 92则当 tan 时，| PM| .14 2min 92所以| PM|min ，即点 P 到双曲线的最小距离为 .322 32210.如图， O 是直角坐标原点， A， B 是抛物线 y22 px(p0)上异于顶点的两动点，且 OA OB，点 A， B 在什么位置时， AOB 的面积最小？最小值是多少？6解：根据题意，设点 A， B 的坐标分别为(2 pt ，2 pt1)，(2
13、pt ，2 pt2)(t1 t2，且21 2t1t20)，则|OA| 2 p|t1| ，(2ptoal(2,1)2 (2pt1)2 t21 1|OB| 2 p|t2| .(2ptoal(2,2)2 (2pt2)2 t2 1因为 OA OB，所以 0，OA OB 即 2pt 2pt 2 pt12pt20，21 2所以 t1t21.所以 AOB 的面积为S AOB |OA|OB|12 2p|t1| 2p|t2|12 t21 1 t2 12 p2|t1t2| (toal(2,1) 1)(toal(2,2) 1)2 p2 t21 t2 22 p2t21 1t21 22 p2 4 p2.2 2当且仅当 t ，即 t11， t21 时，等号成立211t21所以点 A， B 的坐标分别为(2 p,2p)，(2 p，2 p)时， AOB 的面积最小，最小值为 4p2.6
