1、1二 综合法与分析法1综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)特点：由因导果，即从“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” (3)证明的框图表示：用 P 表示已知条件或已有的不等式，用 Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ2分析法(1)定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分
2、析法，这是一种“执果索因”的思考和证明方法(2)特点：执果索因，即从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” (3)证明过程的框图表示：用 Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为 QP1 P1P2 P1P3得 到 一 个 明 显 成 立 的 条 件用综合法证明不等式例 1 已知 a， b， cR ，且互不相等，又 abc1.求证： abc2 a2bc ab2c .a b c综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键1已知 a， b， c 都是实数，求证：a2 b2 c2
3、(a b c)2 ab bc ca.13证明： a， b， cR， a2 b22 ab， b2 c22 bc.c2 a22 ca，将以上三个不等式相加得：2(a2 b2 c2)2( ab bc ca)，即 a2 b2 c2 ab bc ca.在不等式的两边同时加上“ a2 b2 c2”得：3(a2 b2 c2)( a b c)2，即 a2 b2 c2 (a b c)2.13在不等式的两端同时加上 2(ab bc ca)得：(a b c)23( ab bc ca)，即 (a b c)2 ab bc ca.13由得 a2 b2 c2 (a b c)2 ab bc ca.13用分析法证明不等式3例
4、2 a， bR ，且 2ca b.求证： c 0,2 0， 要证 0， y0，求证( x2 y2) (x3 y3) .12 13证明：要证明( x2 y2) (x3 y3) ，12 13只需证( x2 y2)3(x3 y3)2.即证 x63 x4y23 x2y4 y6x62 x3y3 y6.即证 3x4y23 x2y42x3y3. x0， y0， x2y20.即证 3x23 y22xy.3 x23 y2x2 y22 xy.43 x23 y22xy 成立( x2 y2) (x3 y3) .12 13综合法与分析法的综合应用例 3 设 a0， b0，且 a b1，求证： .a 1 b 1 6思路点
5、拨 所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明证明 要证 ，a 1 b 1 6只需证( )26，a 1 b c即证( a b)22 6.ab a b 1由 a b1 得只需证 ，ab 232即证 ab .14由 a0， a b1，得 ab 2 ，即 ab 成立(a b2 ) 14 14原不等式成立(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转
6、化的辩证统一关系4已知 a， b， c 都是正数，求证：2 3 .(a b2 ab) (a b c3 3abc)证明：要证 2 3 ，(a b2 ab) (a b c3 3abc)只需证 a b2 a b c3 ，ab 3abc即2 c3 .ab 3abc移项，得 c2 3 .ab 3abc由 a， b， c 为正数，得 c2 c 3 成立ab ab ab 3abc5原不等式成立1设 a ， b ， c ，那么 a， b， c 的大小关系是( )2 7 3 6 2A abc B acbC bac D ba解析：选 B 由已知，可得出 a ， b ， c ，422 47 3 46 2 2 .7
7、3 6 2 2 bP D P S0， b0，若 P 是 a， b 的等差中项， Q 是 a， b 的正的等比中项， 是 ， 的1R 1a 1b等差中项，则 P， Q， R 按从大到小的排列顺序为_解析： P ， Q ， ，a b2 ab 2R 1a 1b R Q P ，2aba b ab a b2当且仅当 a b 时取等号答案： P Q R7设 abc，且 恒成立，则 m 的取值范围是_1a b 1b c ma c解析： abc， a b0， b c0， a c0.又( a c) ( a b)( b c) 2 2(1a b 1b c) ( 1a b 1b c) (a b)(b c)4，当且仅当
8、 a b b c 时取等号1a b1b c m(，4答案：(，48已知 a， b， c 都是正数，求证： abc.a2b2 b2c2 c2a2a b c证明：因为 b2 c22 bc， a20，所以 a2(b2 c2)2 a2bc.7同理， b2(a2 c2)2 ab2c.c2(a2 b2)2 abc2.相加得 2(a2b2 b2c2 c2a2)2 a2bc2 ab2c2 abc2，从而a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c)由 a， b， c 都是正数，得 a b c0，因此 abc，当且仅当 a b c 时取等号a2b2 b2c2 c2a2a b c9设 a， b， c0，且 a
9、b bc ca1.求证：(1)a b c ；3(2) ( )abc bac cab 3 a b c证明：(1)要证 a b c ，3由于 a， b， c0，因此只需证明( a b c)23.即证 a2 b2 c22( ab bc ca)3，而 ab bc ca1，故只需证明： a2 b2 c22( ab bc ca)3( ab bc ca)即证 a2 b2 c2 ab bc ca.而这可以由 ab bc ca a2 b2 c2(当且仅当 a b c 时a2 b22 b2 c22 c2 a22等号成立)证得所以原不等式成立(2) .abc bac cab a b cabc在(1)中已证 a b
10、c .3因此要证原不等式成立，只需证明 ，1abc a b c即证 a b c 1，bc ac ab即证 a b c ab bc ca.bc ac ab而 a ，bc abacab ac2b ， c .acab bc2 ab bc ac2所以 a b c ab bc cabc ac ab8(当且仅当 a b c 时等号成立)33所以原不等式成立10设实数 x， y 满足 y x20,00， ay0，所以 ax ay2 2 .ax y ax x2因为 x x2 x(1 x) 2 ，x (1 x)2 14又因为 0a .12 ax x2 18所以 ax ay2 a ，又0 a1，18所以 loga(ax ay)loga2a .18即 loga(ax ay)loga2 .18
