1、1课时跟踪检测（三） 三个正数的算术几何平均不等式1设 x0，则 y x 的最小值为( )4x2A2 B2 2C3 D32解析：选 D y x 3 3，4x2 x2 x2 4x2 3x2x24x2当且仅当 ，即 x2 时取“”号x2 4x22设 x， y， zR 且 x y z6，则 lg xlg ylg z 的取值范围是( )A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：选 B lg xlg ylg zlg( xyz)，而 xyz 3，lg( xyz)lg 83lg 2，(x y z3 )当且仅当 x y z2 时，等号成立3若实数 x， y 满足 xy0，且 x2y
2、2，则 xy x2的最小值是( )A1 B2C3 D4解析：选 C xy x2 xy xy x212 123 3 3，当且仅当 xy x2， x2y2，312xy12xyx2 314 x2y 2 12即 x1， y2 时取“”号故 xy x2的最小值为 3.4已知 a， b， cR ， x ， y ， z ，则 x， y， z 的大小a b c3 3abc a2 b2 c23关系是( )A x y z B y x zC y z x D z y x解析：选 B a， b， cR ， ，a b c3 3abc x y，又 x2 ，a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac9z2 ，3a2 3b2 3
3、c29 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ac，2三式相加得 a2 b2 c2 ab bc ca，3 a23 b23 c2( a b c)2， z2 x2， z x，即 y x z.5设 00.故 .32x 1 x 1 x2x 1 x 1 x3 23 x(1 x)2 ，当且仅当 x 时取等号427 13答案：4276设 x， y， z 均大于 0，且 x3 y4 z6，则 x2y3z 的最大值为_解析：6 x3 y4 z y y y4 z6 .x2 x2 6x2y3z x2y3z1，当且仅当 y4 z 时取“”号x2 x2z3z 的最大值为 1.答案：17设三角形三边长
4、为 3,4,5， P 是三角形内的一点，则 P 到该三角形三边距离乘积的最大值是_解析：设 P 到长度为 3,4,5 的三角形三边的距离分别是 x， y， z，三角形的面积为 S.则 S (3x4 y5 z)，又3 24 25 2，12这个直角三角形的面积 S 346.123 x4 y5 z2612.3 3 x4 y5 z12.33x4y5z( xyz)max .1615当且仅当 x ， y1， z 时等号成立43 45答案：16158设 a， b， cR ，求证：(a b c) .(1a b 1b c 1a c) 92证明： a， b， cR ，2( a b c)( a b)( b c)(
5、c a)33 0.3 a b b c c a 3 0，1a b 1b c 1a c 3 1a b1b c1a c( a b c) .(1a b 1b c 1a c) 92当且仅当 a b c 时，等号成立9若 为锐角，求 ysin cos2 的最大值解： y2sin 2 cos2 cos2 2sin2 (1sin 2 )(1sin 2 )12 3 .12 (23) 427当且仅当 2sin2 1sin 2 ，即 sin 时取等号33此时 ymax .23910已知某轮船速度为每小时 10 千米时，燃料费为每小时 30 元，其余费用(不随速度变化)为每小时 480 元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小解：设船速为 v 千米/小时，燃料费为 A 元/小时则依题意有 A kv3，且有 30 k103， k . A v3.3100 3100设每千米的航行费用为 R，则需时间为 小时，1v R v2 v2 3 36.1v(3100v3 480) 3100 480v 3100 240v 240v 33100v2240v240v当且仅当 v2 ，3100 240v即 v20 时取最小值轮船航行速度为 20 千米/小时时，每千米航行费用总和最小4
