1、2003 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 当 x0 时， 是无穷小量，则( )（A）a 是比 2x 高阶的无穷小量（B） a 是比 2x 低阶的无穷小量（C） a 与 2x 是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量（D）a 与 2x 是等价无穷小量2 设 y=y(x)是由方程 可确定的隐函数，则 等于( )（A）（B）（C）（D）3 函数 y=xe-x 在 一 1，2上的最大值或最小值正确的是( )（A）最大值为 e-1（B）最小值为 0（C）最小值为 e-1（D）最小值为 2e-14 设曲线 L 的方程是 x=acost，
2、y=asint(a0，0t2)，则曲线积分(x 2+y2)nds 等于( )（A）2a 2n（B） 2a2n+1（C）一 an（D）a n5 下列级数中，条件收敛的级数是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题6 已知函数 ，则 g(x)=_.7 极限 =_8 过点(一 1，2，0) 并且与平面 x+y+2z=3 垂直的直线方程为_9 设 D 是第一象限中由曲线 y=x2，x+y 一 2=0 和 y=0 所围成的区域，则=_.10 y=x3lnx(x0)，则 y(4)=_三、综合题11 求极限12 已知参数方程13 求函数 z=x3+3xy2 一 15x 一 12y 的极值14 求不定积分x.
3、arctanxdx 15 设16 已知 f(x)为可导函数，并且 f(x)0，满足方程 求 f(x)17 设18 求曲面 x2+2y2+3z2=36 在点 P(1，2，3)处的切平面方程19 将函数 f(x)=xln(1+x2)展开为麦克劳林级数20 求微分方程 2y“一 3y一 2y一 2+3e3x 的通解四、证明题21 求曲线 x2+(y 一 2)2=1 所围图形绕 z 轴旋转一周所得旋转体体积22 设 f(x)，g(x) 都是可导函数，且 f(x)g(x)，证明：当 xa 时，f(x)一 f(a)g(x)一 g(a)2003 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题
4、给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 y=xe -xy一 e-x(1 一 x)，由 y=0 得 x=1，又1 时,y 0，x1 时y0所以 x=1 时取得最大值 e-14 【正确答案】 B【试题解析】 由 x=acost，y=asint ，知 L 为半径为 a 的圆：x 2+y2=a2(如右图)，所以 L(x2+y2)Nds=L(a2)nds=a2nLds=a2n.2a=2a2n+15 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 7 【正确答案】 e 4【试题解析
5、】 8 【正确答案】 【试题解析】 因为平面 x+y+2z=3 的法向量为(1，1，2)又直线过点(一1，2，0) 易求直线方程为：9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 y=x 3lnx(x 0)三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 解得驻点为 P1(一 2，一 1)，P 2(一 1，一 2)， P3(1，2)和 P4(2，1)，又因 可列下表：故函数 z 的极大值为 z(一 2，一 1)=28，极小值为 z(2，1)= 一 2814 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 两边对 x 求导后，化简得17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 四、证明题21 【正确答案】 22 【正确答案】 已知f(x)fg(x) ，故有一 g(x)f(x)g(x)，令 F(x)=f(x)一g(x)，因为 F(x)=f(x)一 g(x)0，F(x)单调减，所以，当 xa 时，有 F(x)F(a)，即可得 f(x)一 f(a)g(x) 一 g(a)
