1、2003 年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y= (x-1)的定义域是 ( )（A）(1 ，+)（B） (2，+)（C） 2，+)（D）空集2 函数 y=1-arctanx 是 ( )（A）单调增加且有界函数（B）单调减少且有界函数（C）奇函数（D）偶函数3 下列等式成立的是 ( )4 当 x0 时，无穷小量 1-cosx2 是比 x4 的 ( )（A）等价无穷小（B）同阶无穷小（C）较高阶无穷小（D）较低阶无穷小5 x=0 是函数 f(x)= -1 的 ( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二
2、类间断点6 下列方程在0，1 上有实根的是 ( )（A）sinx+x- =0（B） x2+3x+1=0（C） arcsinx+3=0（D）x-sinx+ =07 若 f(x)在点 x0 处不连续，则 f(x)在点 x0 处 ( )（A）必定不可导（B）一定可导（C）可能可导（D）极限一定不存在8 曲线 y= ( )（A）有水平渐近线，无垂直渐近线（B）无水平渐近线，有垂直渐近线（C）无水平渐近线，也无垂直渐近线（D）有水平渐近线，也有垂直渐近线9 已知 f(x)=0，f(0)=1 ，则 ( )（A）2（B） 1（C） 0（D）10 若 y=sine-x，则有 ( )（A）dy=cose -xd
3、x（B） dy=e-xsine-xdx（C） dy=-e-xcose-xdx（D）dy=e -xcose-xdx11 设 ( )（A）（B） 2t（C） 1（D）t12 若 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，f(x)0，则方程 f(x)=0 在0，+)上 ( )（A）有唯一根（B）至少存在一个根（C）不能确定有根（D）没有根14 函数 f(x)=x- 的极值点的个数是 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个15 下列函数中，在1，e 上满足拉格朗日中值足理条件的是 ( )（A）y=lnlnx（B） y=lnx（C） y=（D）y=x-216 若 f(x)的一个
4、原函数为 ln2x，则 f(x)= ( )（A）2xln2x（B） ln2x（C）（D）17 dx = ( )18 设函数 (x)= ,则 (x)= ( )（A）xe（B） -xe（C）（D）19 下列广义积分收敛的是 ( )20 直线 与平面 x+2y-z+3=0 的位置关系是 ( )（A）互相垂直（B）互相平行但直线不在平面上（C）直线在平面上（D）斜交21 方程 x= 确定二元隐函数 z=f(x，y)，则 = ( )（A）1（B） ex（C） yex（D）y22 设 z=x3-3x-y，则它在点(1，0)处 ( )（A）取得极大值（B）无极值（C）取得极小值（D）无法判定是否有极值23
5、设 D=(x， y)1x 2+y24，则 dxdy= ( )24 设 D 由直线 x+y=1，x=0，y=0 所围成，则 dxdy= ( )（A）1（B） 2e（C） e-1（D）2e-125 设 D=(x， y)，)(x-1) 2+y21，则 dxdy= ( )（A）3（B） 4（C） （D） 226 设 L 为从点(1 ，1)到点 (0，0)的直线段，则 L(x2-y2)dx+xydy= ( )（A）（B） 3（C） 0（D）27 正项级数 满足下列哪一个条件时必定收敛 ( )28 的收敛性为 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）无法确定29 下列微分方程中，通解为 y=(C
6、1+C2x)e-3x 的二阶常系数齐次线性微分方程是 ( )（A）y-6y+9y=0（B） y+6y+9y=0（C） y+6y+9y：1（D）y+6y=030 微分方程 ylnxdx=xlnydy 满足 y x=1=1 的特解是 ( )（A）In 2+In2y=0（B） In2x+In2y=1（C） In2x=In2y（D）ln 2x=In2y+1二、填空题31 设 f(x)=arctanc，g(x)=sin ，则 gf(x-1)=_32 函数 f(x)=1-ln(2x+1)的反函数 f-1(x)=_33 ln(1+x)-lnx=_34 若 f(x)= ，在 x=0 处连续，则 a=_35 已
7、知 y=sinx，则 y(10)=_36 设 x2y-e2x=siny，则 =_37 设 y=f（lntanx)，且 f(x)可微，则 =_38 曲线 y 在点(1，1) 处的切线方程为_39 函数 f(x)=x-ln(1+x2)在 -1，2上的最大值为_40 曲线 y=6x2-x3 的拐点为_41 =_42 由向量 a=(2，2，1)，b=(4，5，3) 为邻边构成的平行四边形面积为_43 设 z=ln(x2+y2)，则 =_44 若 I= dy，则交换积分顺序后 I=_45 微分方程 y“=24x 的通解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 求极限47 求函数 y= 的导数48
8、计算49 计算50 设 z=f( )，且 z=f(u，v)可微，求51 计算 ，其中 D 是由 y=x，y 2=x 所围成的区域52 将函数 f(x)= 展开为(x-1)的幂级数，并写出其收敛域53 求微分方程 =x 的通解四、综合题54 某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10 元和 9 元，生产甲产品戈件与生产乙产品 y 件的总费用是 400+2x+3y+001(3x 2+xy+3y2)元，问两种产品的产量各为多少件时，能够取得最大利润?54 平面图形 D 由曲线 y= ，直线 y=x-2 及 x 轴所围成55 求此平面图形的面积；56 求此平面图形绕 x 轴旋转一周而形成的旋转体的
9、体积五、证明题57 证明：当 0x 时，cosx2003 年河南省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 因 ln(x-1)0，得 x-11，即 x22 【正确答案】 B【试题解析】 因 y= 0，所以函数单调减少，且有界3 【正确答案】 C【试题解析】 根据两个重要极限，很显然 C 正确4 【正确答案】 B【试题解析】 因 x0 时， 所以 1-cosx2是比 x4 的同阶无穷小5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =+，所以 x=0 为第二类间断点6 【正确答案】 A【试题解析】 对于 A，函数 f(
10、x)：sinx+x- 满足在区间 0，1上连续，且 f(0)= 0，f(1)=sinl+ 0，所以选 A.7 【正确答案】 A【试题解析】 因连续为可导的必要条件，故 f(x)在 x0 处不连续，则 f(x)在 x0 处必不可导8 【正确答案】 B【试题解析】 因 =，所以有垂直渐近线 x=1；因 =，所以无水平渐近线9 【正确答案】 B【试题解析】 10 【正确答案】 C【试题解析】 dy=(-1)cose -x.e-xdx11 【正确答案】 A【试题解析】 12 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(x) 0，且 f(x)0，故曲线为单调增加且为凸的13 【正确答案】 C【试题解析】 题目
11、所给条件无法判断是否有实根14 【正确答案】 C【试题解析】 y= ，x=1 是驻点，x=0 是不可导点，根据判断极值的第一充分条件，x=1，x=0 都是极值点15 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=lnx 在1，e上连续，在(1，e)内可导，所以满足拉格朗日定理16 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)=(ln2x)= ，所以 f(x)=17 【正确答案】 B【试题解析】 因为18 【正确答案】 C【试题解析】 (x)=2x.19 【正确答案】 D【试题解析】 对于 ，当 n1 时，广义积分收敛；当 n1时，广义积分发散，故 收敛20 【正确答案】 C【试题解析】 因为直线的方向
12、向量和平面的法向量满足1，2，-3，-1 ，1=13+2(-1)+(-1)1=0，所以这两个向量垂直，那么对应的直线与平面平行，又因为直线上的点(1，-1 ，2)在平面上，所以直线在平面上21 【正确答案】 C【试题解析】 由 x= 得，z=ye x，所以 =yex22 【正确答案】 B【试题解析】 因 =-1，所以(1，0)不是驻点，函数不会存在极值23 【正确答案】 C【试题解析】 因为区域 D：(x，y)x 2+y24，则可另表示为D：(r，) 02，1r2，所以原二重积分可化为24 【正确答案】 A【试题解析】 25 【正确答案】 C【试题解析】 dxdy 即为圆 (x-1)2+y2=
13、1 的面积， dxdy=26 【正确答案】 D【试题解析】 L(x2-y2)dx+xydy=27 【正确答案】 C【试题解析】 由正项级数敛散性比值判别法，当 1 时， 收敛，由选项 C：28 【正确答案】 B【试题解析】 因为级数 为交错级数，且满足莱布尼兹条件，所以收敛，又因为加绝对值后所成的级数 发散，故该级数为条件收敛29 【正确答案】 B【试题解析】 因特征根 r=-3 为重根，所以对应的微分方程为 y+6y+9y=030 【正确答案】 C【试题解析】 变量分离得 +C，因当 x=1 时，y=1，所以 C=0二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 f(-1)= ，所以 gf(-1
14、)=g32 【正确答案】 y= (e1-x-1)，xR【试题解析】 因 ln(2x+1)=1-y,所以 x= (e1-y-1)，所以 f-1(x)= (e1-x-1)，x R33 【正确答案】 1【试题解析】 原式=34 【正确答案】 【试题解析】 35 【正确答案】 -sinx【试题解析】 由(sinx) (n)=sin(x+n. )知，y (10)=sin(x+ )=-sinx36 【正确答案】 【试题解析】 方程两端分别对 x 求导，得 2xy+x2y-2e2x=cosy.y 所以 y=37 【正确答案】 f(lntanx)【试题解析】 =f(lntanx)(lntanx)=f(lnta
15、nx) (tanx)=f(Ilntanx)38 【正确答案】 x+y-2=0【试题解析】 因 y= ，所以 y x=1=-1，所求切线方程为：y-1=-(x-1) ，即 x+y-2=039 【正确答案】 2-ln5【试题解析】 因 y=1- 0，所以函数 y 为单调增加，在区间-l，2上的最大值为 f(2)=2-ln540 【正确答案】 (2，16)【试题解析】 因 y=12x-3x2，y=12-6x，令 y=0，得 x=2，当 x2 时，y41 【正确答案】 0【试题解析】 奇函数在对称区间上的定积分为 042 【正确答案】 3【试题解析】 因 ab= =1，-2，2，所以ab =3 43
16、【正确答案】 dx+dy【试题解析】 因 dz= ，则 dz (1,1)=+dy44 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知积分区域 D 可表示为(x，y)1xe,0ylnx，转化为先对 x 后对 y 的积分，则积分区域 D 表示为(x，y)1 0y1，e yxe，于是 I=45 【正确答案】 y=x 4+c1x2+c2x+c3(其中 c1，c 2，c 3 为常数)【试题解析】 y=12x 2+c1，y=4x 3+c1x+c2，y=x 4+c1x2+c2x+c3三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 原式=47 【正确答案】 lny=xlnx-ln(1+x) 则48 【正确答
17、案】 令 x=tant，则 dx= 原式=49 【正确答案】 原式=50 【正确答案】 51 【正确答案】 如第 51 题图所示，区域 D 可表示为D=(x，y) 0y1 ，y 2xy原式= =1-cos152 【正确答案】 f(x)= 收敛区域为：-1x353 【正确答案】 原方程变形为： 应用变量可分离的方法，得 =-2xdx 两边积分，得 y= 令 y=C(x) ，并代人原方程，整理得 C(x)=x 两边积分，得 C(x)= +C 所以 y=四、综合题54 【正确答案】 令总利润为 L(x，y)，则总利润 L(x，y)=(10x+9y)-400+2x+3y+001(3x 2+xy+3y2
18、) 得(120，80)为驻点又因为 Lxx=-006=A， L xy=-001=B ，L yy=-006=C，B 2-AC0，且 A55 【正确答案】 平面图形 D 如第 55 题图中阴影部分所示由 ，得交点坐标为(4,2) 所求面积 S=(平方单位)56 【正确答案】 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积 VX=(立方单位)五、证明题57 【正确答案】 设 F(X)= +1-cosX，X(0 ， ) F(X)= -x+sinx,f(x)=x-1+cosx,f(x)=1-sinx0，所以 f(x)单调增加，说明 f(x)f(0)=0 ，所以 f(x)单调增加，说明 f(x)f(0)=0，所以 f(x)单调增加，说明 f(x)f(0)=0 ， 即 +1-cosx 0，故当 0x 时，cosx
