1、- 1 -勾股定理一课一练基础闯关题组 勾股定理在实际中的应用1.要登上某建筑物,靠墙有一架梯子,底端离建筑物 5m,顶端离地面 12m,则梯子的长度为 ( )A.12m B.13m C.14m D.15m【解析】选 B.如图所示:由题意 AC=12m,BC=5m,在 RtABC 中,AB= =13(m).122+522.(2017重庆期中)如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了_步路(假设 2步为 1m),却踩伤了花草 世纪金榜导学号 42684030( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 D.由勾股定理,得路= =5(
2、m),少走 (3+4-5)2=4(步).32+423.(2017枝江市期中)如图,一根长 5米的竹竿 AB斜靠在一竖直的墙 AO上,这时 AO为 4米,如果竹竿的顶端 A沿墙下滑 1米,那么竹竿底端 B外移的距离 BD ( )A.等于 1米 B.大于 1米C.小于 1米 D.以上都不对【解析】选 A.由题意得:在 RtAOB 中,OA=4 米,AB=5 米,OB= =A223米,在 RtCOD 中,OC=3 米,CD=5 米,OD= =4米,BD=OD-OB=1 米.C22【变式训练】(1)如图 1,一个梯子 AB长 2.5m,顶端 A靠在墙 AC上,这时梯子下端 B与墙根 C距离为 1.5m
3、,- 2 -梯子滑动后停在 DE的位置上,如图 2所示,测得 BD的长为 0.5m,问梯子顶端 A下落的距离是否也为 0.5m?为什么?(2)如图 3梯子 AB靠在墙上,梯子底端 A到墙根 O的距离是 2m,梯子顶端 B到地面的距离是 7m.现将梯子的底端 A向左移动到 A,使梯子的底端 A到墙根 O的距离为 3m,同时梯子的顶端 B下降至 B,那么BB等于 1m;大于 1m;小于 1m.其中正确结论的序号是_.【解析】(1)梯子顶端 A下落的距离是 0.5m.在 RtCDE 中,CE 2=DE2-CD2,即 CE2=2.52-22=2.25,所以 CE=1.5.AC 2=AB2-BC2=2.
4、52-1.52=4,AC=2.AE=ACCE=0.5(m).(2).解法同上,先求出 AB 2=53.然后求出 OB 2=AB 2-AO 2=53-9=44.估算 6OB7,故 BB=7-OB1.4.如图,有两棵树,一棵高 12m,另一棵高 6m,两树相距 8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行_m. 世纪金榜导学号 42684031【解析】如图,设大树高为 AB=12m,- 3 -小树高为 CD=6m,过 C点作 CEAB 于 E,则四边形 EBDC是矩形,连接 AC,EB=6m,EC=8m,AE=AB-EB=12-6=6(m),在 RtAEC 中,AC= =10(m)
5、.62+82故小鸟至少飞行 10m.答案:10【变式训练】有一只喜鹊在一棵 3m高的小树上觅食,它的巢筑在距离该树 24m的一棵大树上,大树高 14m,且巢离树顶部 1m.当它听到巢中幼鸟的叫声,立即赶过去,如果它飞行的速度为 5m/s,赶回巢中,它至少需要_s.【解析】如图,由题意知 AB=3,CD=14-1=13,BD=24.过点 A作 AECD 于点 E.则 CE=13-3=10,AE=24,所以 AC2=CE2+AE2=102+242.所以 AC=26,265=5.2(s).答案:5.25.如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4 米,AB=8 米,-
6、 4 -MAD=45,MBC=30,则警示牌的高 CD为_米(结果精确到 0.1米,参考数据:1.41, 1.73). 世纪金榜导学号 426840322 3【解析】AM=4 米,MAD=45,DM=4 米,AM=4 米,AB=8 米,MB=12 米,MBC=30,BC=2MC,MC 2+MB2=(2MC)2,MC2+122=(2MC)2,MC=4 ,3则 DC=4 -42.9(米).3答案:2.96.如图,某会展中心在会展期间准备将高 5m,长 13m,宽 2m的楼梯铺上地毯,已知地毯每平方米 20元,请你帮助计算一下,铺完这个楼梯至少需要多少元钱?【解析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分
7、的和,即 AC与 BC的和,在RtABC 中,由勾股定理得 AC2=AB2-BC2=132-52=144,所以 AC=12(m).则地毯总长为 12+5=17(m),则地毯的总面积为 172=34(m2),- 5 -所以铺完这个楼梯至少需要 3420=680(元).题组 利用勾股定理解决立体图形中的最短路线问题1.(2017嘉祥县期中)如图,有一长、宽、高分别为 12cm,4cm,3cm的木箱,在它里面放一根细木条(木条的粗细忽略不计),要求细木条不能露出木箱,请你算一算,能放入的细木条的最大长度是 ( )A.13 cm B.14 cm C.15 cm D.16 cm【解题指南】要判断能否放进
8、去,关键是求得该木箱中的最长线段的长度,通过比较大小作出判断.【解析】选 A.如图,连接 AC,AD.在 RtABC 中,有 AC2=AB2+BC2=160,在 RtACD 中,有 AD2=AC2+CD2=169,AD= =13(cm),169能放进去的细木条的最大长度为 13cm.2.如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 12cm,底面周长为 10 cm,在容器内壁离容器底部3cm的点 B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿 3cm的点 A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ( )世纪金榜导学号 42684033A.13 cm B.2 cm61- 6 -C. c
9、m D.2 cm61 34【解析】选 A.圆柱侧面展开如图,作点 A关于杯口的对称点 A,则 AE=AE=3,连接AC,AC 的长度即为蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径.过点 C作 CBAA于点 B,则BE=9,BC=5,AB=12,在 RtABC 中,由勾股定理得:AC= = =13,A2+2 122+52故蚂蚁到达饭粒的最短路径为 13 cm.【知识归纳】在求解几何体表面两点间最短距离的问题时,通常是将几何体表面展开,求展开图中两点之间的距离,但在展开过程中一定要弄清所要求的是哪两点之间的距离,以及它们在展开图中相应的位置.【变式训练】如图,已知圆柱底面的周长为 4dm,圆柱高为 2dm,在圆
10、柱的侧面上,过点 A和点 C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为 ( )A.4 dm B.2 dm C.2 dm D.4 dm2 2 5 5【解析】选 A.如图,依题意,得 AB=2dm,BC= 4dm=2dm,由勾股定理,得 AC=2 dm,这圈金属丝的周长12 2最小为 4 dm.23.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒,规格为 5610(单位:cm),在上盖中开有一孔便于插- 7 -吸管,吸管长为 13cm,小孔到图中边 AB距离为 1cm,到上盖中与 AB相邻的两边距离相等,设插入吸管后露在盒外面的管长为 hcm,则 h的最小值大约为_cm.(精确到个位,参考数据: 1.4,
11、1.7, 2.2).2 3 5【解析】如图所示:连接 DC,CF,由题意:ED=3,EC=5-1=4,CD 2=32+42=25=52,CF2=52+102=125,吸管口到纸盒内的最大距离为 =5 11cm.1255h min=13-112(cm).答案:24.我国古代数学中有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上,树高 2丈,粗 3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕 7周到达树顶,(如图)请问这根藤条有多长?(注:枯树可以看成圆柱;树粗 3尺,指的是:圆柱底面周长为 3尺,1 丈=10 尺).世纪金榜导学号 42684034【解题指南】本题是一道古代数学题,由于树可以近似看作圆柱,藤条绕树
12、缠绕,我们可以转化为平面图形来解决.【解析】如图,在 RtABC 中,由勾股定理得 AB2=BC2+AC2,因为 BC=20,AC=37=21,所以 AB2=202+212=841,所以 AB=29.所以这根藤条有 29尺长.- 8 -如图,一棵树在一次强台风中,从离地面 3m处折断,量得倒下部分树尖与树根的距离是 4m,这棵树在折断前的高度是 ( )A.7 m B.8 m C.9 m D.10 m【解析】选 B.如图所示:ABC 是直角三角形,AB=3m,AC=4m,BC= = =5(m),A2+2 32+42大树的高度=AB+BC=3+5=8(m).【母题变式】变式一一旗杆在其 的 B处折
13、断,量得 AC=5m,则旗杆原来的高度为 ( )13A. m B.2 m C.10 m D.5 m5 5 3【解析】选 D.设 AB=x,由题意可得,AC 2=BC2-AB2,即(2x) 2-x2=52,解得 x= ,所以旗杆原来的高度为5333x=5 m.3变式二如图所示,一棵大树高 8米,一场大风过后,大树在离地面 3米处折断倒下,树的顶端落在地上,则此时树的顶端离树的底部有 ( )- 9 -A.4 m B.3.5 m C.5 m D.13.6 m【解析】选 A.大树高 8m,在离地面 3m处折断,AB=3m,AC=8-3=5(m),BC= = =4(m).A22 5232变式三如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面 2m,则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为 ( )A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m【解析】选 D.设旗杆高度为 x,则 AC=AD=x,AB=(x-2)m,BC=8m,在 RtABC 中,AB 2+BC2=AC2,即(x-2) 2+82=x2,解得 x=17,即旗杆的高度为 17m.- 10 -
