1、- 1 -勾股定理的逆定理一课一练基础闯关题组 互逆命题、互逆定理1.下面定理中,没有逆定理的是 ( )A.内错角相等,两直线平行B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C.同旁内角互补,两直线平行D.对顶角相等【解析】选 D.由定理与逆定理的含义可得选项 A,B,C 均有逆定理,而 D 中可先假设其有逆定理且逆定理成立,即其逆定理为:若两个角相等,则其为对顶角,显然不成立,故 D 错.2.能说明命题“对于任何实数 a,|a|-a”是假命题的一个反例可以是 世纪金榜导学号 42684040( )A.a=-2 B.a=13C.a=1 D.a= 2【解析】选 A.说明命题“对于任何实数 a
2、,|a|-a”是假命题的一个反例可以是 a=-2.【变式训练】已知下列命题:若 a0,则|a|=-a;若 ma2na2,则 mn;互为相反数的两个数的和为零;如果 ab,那么(a+b)(a-b)0.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【解析】选 B.原命题正确的有,的逆命题不成立.3.(2017常德中考)命题:“如果 m 是整数,那么它是有理数”,则它的逆命题为:_.【解析】两个命题,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个的结论又是第二个的条件,那么- 2 -这两个命题叫做互逆命题.答案:如果 m 是有理数,则它是整数4.写出命题
3、“如果 a=b,那么 3a=3b”的逆命题_.【解析】命题“如果 a=b,那么 3a=3b”的逆命题是:“如果 3a=3b,那么 a=b”.答案:如果 3a=3b,那么 a=b5.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果,那么”的形式:_. 世纪金榜导学号 42684041【解析】逆命题为:三角形三边长 a,b,c,满足 a2+b2=c2,这个三角形是直角三角形,逆命题改写成“如果,那么”的形式:如果三角形三边长 a,b,c,满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形答案:如果三角形三边长 a,b,c,满足 a2+b2
4、=c2,那么这个三角形是直角三角形6.说出下列命题的逆命题,并分别指出它是真命题还是假命题:(1)全等三角形的对应角相等.(2)如果两个角是直角,那么这两个角相等.【解析】(1)如果两个三角形的角分别相等,那么这两个三角形全等.假命题.(2)如果两个角相等,那么这两个角是直角.假命题.题组 勾股数1.(2017滨海县月考)下列各组数中是勾股数的是 ( )A.12,15,18 B.11,60,61C.15,16,17 D.12,35,36【解析】选 B.A.122+15218 2,此选项错误;B.11 2+602=612,此选项正确;C.15 2+16217 2,此选项错误;D.122+3523
5、6 2,此选项错误.2.分别有下列几组数据:6,8,10;12,13,5;7,8,15;40,41,9.其中是勾股数的有 ( )世纪金榜导学号 42684042A.4 组 B.3 组 C.2 组 D.1 组- 3 -【解析】选 B.6 2+82=100=102,是勾股数;5 2+122=132,是勾股数;7 2+8215 2,不是勾股数;9 2+402=412,是勾股数.故选 B.题组 勾股定理逆定理的应用1.(2017秦淮区一模)下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是 ( )A.2,3,3 B.2,3,4 C.2,3,5 D.3,4,5【解析】选 A.A. = 3,2+33,能组成锐角三角形
6、;22+32 13B. = 4, 不能组成锐角三角形;22+32 13C.2+3=5,不能组成三角形;D. =5,是直角三角形 ,不能组成锐角三角形 .32+42【变式训练】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是 ( )A. , , B.1, ,6 8 10 2 3C.6,7,8 D.9,10,11【解题指南】知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.【解析】选 B.A.( )2+( )2( )2,不能构成直角三角形 ,故错误;6 8 10B.12+( )2=( )2,能构成直角三角形,故正确;C.6 2+
7、728 2,不能构成直角三角形,故错误;D.9 2+10211 2,不2 3能构成直角三角形,故错误.2.(2017益阳中考)如图,ABC 中,AC=5,BC=12,AB=13,CD 是 AB 边上的中线,则 CD=_.世纪金榜导学号 42684043【解析】在ABC 中,AC=5,BC=12,AB=13,AC 2+BC2=52+122=132=AB2,ABC 为直角三角形,且ACB=90,- 4 -CD 是 AB 边上的中线,CD=6.5.答案:6.53.已知 a,b,c 是ABC 的三边长,且满足关系式 +|a-b|=0,则ABC 的形状为_.c222世纪金榜导学号 42684044【解析
8、】 +|a-b|=0,c222c 2-a2-b2=0,且 a-b=0,c 2=a2+b2,且 a=b,则ABC 为等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形【变式训练】三角形的三边长为 a,b,c,且满足(a+b) 2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.锐角三角形【解析】选 C.化简(a+b) 2=c2+2ab,得 a2+b2=c2,所以三角形是直角三角形.4.如图,在四边形 ABCD 中,ABC=90,AC=AD,M,N 分别为 AC,CD 的中点,连接 BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN. 世纪金榜导学号 42684045(2)BAD=60
9、,AC 平分BAD,AC=2,求 BN 的长.【解析】(1)在CAD 中,M,N 分别是 AC,CD 的中点,MNAD 且 MN= AD.12在 RtABC 中,点 M 是 AC 的中点,- 5 -BM= AC,12又AC=AD,BM=MN.(2)BAD=60,且 AC 平分BAD,BAC=DAC=30,由(1)知,BM= AC=AM=MC,12BMC=BAM+ABM=2BAM=60,MNAD,NMC=DAC=30,BMN=BMC+NMC=90,BN 2=BM2+MN2,而由(1)知,MN=BM= AC= 2=1,12 12BN= .2【变式训练】如图,在ABC 中,已知 AB=AC,D 是
10、AC 上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.(1)证明:BCD 是直角三角形.(2)求ABC 的面积.【解析】(1)CD=9,BD=12,CD 2+BD2=81+144=225.BC=15,BC 2=225.CD 2+BD2=BC2.BCD 是直角三角形,且BDC=90(勾股定理逆定理).(2)设 AD=x,则 AC=x+9.- 6 -AB=AC,AB=x+9.BDC=90,ADB=90.AB 2=AD2+BD2(勾股定理).即(x+9) 2=x2+122,解得 x= .72AC= +9= .72 252S ABC = ACBD=75.12如图,四边形 ABCD 是一块草坪,量得四边长
11、AB=3m,BC=4m,DC=12m,AD=13m,B=90,求这块草坪的面积.世纪金榜导学号 42684046【解析】连接 AC,在 RtABC 中,AB=3m,BC=4m,B=90,由勾股定理得 AB2+BC2=AC2,AC=5m.在ACD 中,AC=5m,DC=12m,AD=13m,AC 2+DC2=169,AD2=169,AC 2+DC2=AD2,ACD 为直角三角形,即ACD=90.- 7 -所以四边形 ABCD 的面积=S RtABC +SRtACD = ABBC+ ACDC= 34+ 512=36(m2).12 12 12 12即这块草坪的面积是 36m2.【母题变式】一个零件的
12、形状如图所示,工人师傅按规定做得 AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?【解析】3 2+42=52,52+122=132,即 AB2+BC2=AC2,故B=90,同理,ACD=90,S 四边形 ABCD=SABC +SACD= 34+ 51212 12=6+30=36.变式一 如图,已知 AB=BC=4,CD=6,DA=2,且ABC=90.求DAB 的度数.【解析】连接 AC,在 RtABC 中,AC 2=AB2+BC2=32.在ACD 中,AD 2+AC2=22+32=36=CD2,DAC=90.- 8 -又AB=BC
13、,BAC=ACB=45,DAB=DAC+BAC=90+45=135.变式二(2017渝水区校级月考)如图,在四边形 ABCD 中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,B=90.(1)判断D 是否是直角,并说明理由.(2)求四边形 ABCD 的面积.【解析】(1)连接 AC,B=90,AC 2=BA2+BC2=400+225=625,DA 2+CD2=242+72=625,AC 2=DA2+DC2,ADC 是直角三角形,即D 是直角.(2)S 四边形 ABCD=SABC +SADC ,S 四边形 ABCD= ABBC+ ADCD12 12= 2015+ 24712 12=234.- 9 -
