1、1第十七章 勾 股 定 理1.在非直角三角形中作辅助线的方法(1)作高(垂线)法:解一般三角形的问题常常通过作高或作某一边的垂线段,转化为直角三角形,利用勾股定理计算或证明.【例 1】在ABC 中,AB=2 ,AC=4,BC=2,以 AB 为边向ABC 外作ABD,使ABD 为等腰直角三角形,求线5段 CD 的长.【标准解答】AC=4,BC=2,AB=2 ,5AC 2+BC2=AB2,ACB 为直角三角形,ACB=90.分三种情况:情况 1:如图,过点 D 作 DECB,垂足为点 E.易证ACBBED,易求 CD=2 ; 10情况 2:如图,过点 D 作 DECA,垂足为点 E.易证ACBDE
2、A,易求 CD=2 ; 13情况 3:如图,过点 D 作 DECB,垂足为点 E,过点 A 作 AFDE,垂足为点 F.易证AFDDEB,易求 CD=3 .22(2)根据图形特点作辅助线构造直角三角形法:有些几何图形,比如四边形,本身就具备直角的已知条件,但没有直角三角形,此时要根据图形特点巧构直角三角形【例 2】如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2.求四边形 ABCD 的面积.【标准解答】延长 AD,BC 交于 E 点,如图.B=90,A=60,E=30.AE=2AB=8,CE=2CD=4,则 BE= =4 .2-2 3DE= =2 ,2-2 3四边形 ABCD 的面积=ABE
3、的面积-CDE 的面积=6 .3ABC 中,AB=4,BC=3,BAC=30,则ABC 的面积为 . 2.运用数学思想处理问题(1)分类讨论思想:在一些求值计算中,有些题目没有给出图形,当画出符合题意的图形不唯一时,要注意分情况进行讨论,避免漏解.【例 1】已知三角形相邻两边长分别为 20 cm 和 30 cm.第三边上的高为 10 cm,则此三角形的面积为 cm2. 【标准解答】设 AB=20 cm,AC=30 cm,AD=10 cm3有两种情况:一种在直角三角形 ABD 中利用勾股定理得 BD= = =10 cm.2-2 400-100 3同理解得 CD=20 cm,2则三角形 ABC 的
4、面积= BCAD12= 10=(100 +50 )cm2.12 (103+202) 2 3二种:在直角三角形 ABD 中,BD= = =10 cm.2-2 400-100 3在直角三角形 ACD 中,CD= = =20 cm.2-2 900-100 2则 BC=(20 -10 ) cm,2 3所以三角形 ABC 的面积为(100 -50 ) cm2.2 3答案:(100 +50 )或(100 -50 )2 3 2 3(2)方程思想:勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式,求线段的长时可由此列出方程,运用方程思想分析问题、解决问题,以便简化求解.【例 2】如图,长方形 ABCD 沿着对角线
5、 BD 折叠,使点 C 落在 C处,BC交 AD 于点 E,AD=8,AB=4,则 DE 的长为 . 【标准解答】CBD=DBE,CBD=ADB,DBE=ADB,DE=BE.设 DE 的长为 x,4则 AE=8-x,在 RtABE 中,AB 2+AE2=BE2,即 42+(8-x)2=x2,解得:x=5.答案: 51.已知直角三角形两边的长分别是 3 和 4,则第三边的长为 . 2.长方形纸片 ABCD 中,已知 AD=8,AB=6,E 是边 BC 上的点,以 AE 为折痕折叠纸片,使点 B 落在点 F 处,连接FC,当EFC 为直角三角形时,BE 的长为 . 3.折叠问题及最短路径问题几何图
6、形的折叠问题及最短路径问题是当前中考的热点,这两类问题都需要构造直角三角形,借助勾股定理解决.(1)利用勾股定理解决图形折叠问题【例 1】如图,在 RtABC 中,C=90,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将BCD 沿 BD 折叠,使点 C 落在 AB 边的 C点,那么ADC的面积是 . 【标准解答】C=90,BC=6 cm,AC=8 cm,AB=10 cm,将BCD 沿 BD 折叠,使点 C 落在 AB 边的 C点,DC=DC,BC=BC=6 cm,AC=4 cm,设 DC=x cm,则 AD=(8-x) cm,在 RtADC中,5AD2=AC 2+CD 2,即(8-x) 2=
7、42+x2,解得 x=3,ADC的面积= 43=6(cm2).12答案:6 cm 2【例 2】如图,长方形纸片 ABCD 中,已知 AD =8,折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合,点 B 落在点 F 处,折痕为 AE,且 EF=3,则 AB 的长为 ( )A.3 B.4 C.5 D.6【标准解答】选 D.四边形 ABCD 是长方形,AD=8,BC=8,AEF 是AEB 翻折而成,BE=EF=3,AB=AF,CEF 是直角三角形,CE=8-3=5,在 RtCEF 中,CF= = =4,2-2 52-32设 AB=x,在 RtABC 中,AC 2=AB2+BC2,即(x+4) 2=x2+82
8、,解得 x=6.(2)最短距离问题求立体图形表面上两点之间的最短距离问题,关键是把立体图形的侧面展开成平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用平面上“两点之间,线段最短”的公理解题.把空间图形转化为平面图形是解数学题的重要转化思想之一.【例 3】如图,已知圆柱底面的周长为 4 dm,圆柱高为 2 dm,在圆柱的侧面上,过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为 ( )6A.4 dm B.2 dm2 2C.2 dm D.4 dm5 5【标准解答】选 A.如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为 2AC 的长度.圆柱底面的周长为 4 dm,圆柱高为 2 dm,AB
9、=2 dm,BC=BC=2 dm,AC 2=22+22=4+4=8,AC=2 ,2这圈金属丝的周长最小为 2AC=4 dm.21.如图,RtABC 中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC 折叠,使 A 点与 BC 的中点 D 重合,折痕为 MN,则线段 BN的长为( )A. B.53 52C.4 D.572.如图,圆柱形容器高 18 cm,底面周长为 24 cm,在杯内壁离杯底 4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜,此时已知蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 2 cm 与蜂蜜相对的 A 处,则蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离为 cm. 2 题图3 题图3.我国古代有这样一道数学问题:“枯木
10、一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为 20 尺,底面周长为 3 尺,有葛藤自点 A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点 B 处.则问题中葛藤的最短长度是尺. 答案解析：1.在非直角三角形中作辅助线的方法【跟踪训练】【解析】根据题意画出图形可知符合要求的ABC 共有两个(如图),过点 B 作 BDAC,AB=4,BAC=30,BD=2,AD=2 ,CD= = ,3 32-22 58故 AC=2 - 或 AC=2 + ,3 5 3 5SABC = (2 - )2=2 -12 3 5
11、3 5或 SABC = (2 + )2=2 + .12 3 5 3 5答案:2 - 或 2 +3 5 3 52.运用数学思想处理问题【跟踪训练】1.【解析】当 3,4 为直角边长时,则第三边是斜边,其长为 5;当长为 4 的边是斜边时,第三边是直角边,其长是 .故第三边长为 5 或 .7 7答案:5 或 72.【解析】EFC=90时,如图 1,AFE=B=90,EFC=90,点 A,F,C 共线,长方形 ABCD 的边 AD=8,BC=AD=8,在 RtABC 中,AC= = =10,2+2 62+82设 BE=x,则 CE=BC-BE=8-x,由翻折的性质得,AF=AB=6,EF=BE=x,
12、CF=AC-AF=10-6=4,在 RtCEF 中,EF 2+CF2=CE2,即 x2+42=(8-x)2,解得 x=3,即 BE=3;CEF=90时,如图 2,由翻折的性质得,AEB=AEF= 90=45,12四边形 ABEF 是正方形,BE=AB=6.综上所述,BE 的长为 3 或 6.9答案:3 或 63.折叠问题及最短路径问题【跟踪训练】1.【解析】选 C.设 BN=x,则依据折叠原理可得 DN=AN=9-x,又 D 为 BC 的中点,所以 BD=3,在 RtNBD 中,利用勾股定理,可得BN2+BD2=DN2,则有 32+x2=(9-x)2,解得 x=4,即 BN=4.2.【解析】如图,将容器侧面展开,作 A 关于 EF 的对称点 A,根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求.由题意知 EA=2 cm,BD=18-4+2=16 cm,AD=12 cm.由勾股定理得 AB= =20(cm).162+122答案:203.【解析】把这个圆柱沿一条母线剪开,一条边(即枯木的高)长 20 尺,另一条边长为 53=15(尺),因此葛藤长 =25(尺).202+152答案:2510
