1、12019 年上海市杨浦区中考数学模拟试卷（3 月份）一选择题（满分 24 分，每小题 4 分）1已知 ，且 b+d0，则 （ ）A B C D2在比例尺为 1：100000 的城市交通图上，某道路的长为 3 厘米，则这条道路的实际距离为（ ）千米A3 B30 C3000 D0.33在 ABC 中， C90，若 cosA ，则 sinA 的值是（ ）A B C D4已知 是一个单位向量， 、 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）A| | B| | C D 5二次函数的复习课中，夏老师给出关于 x 的函数 y2 kx2（4 k+1） x k+1（ k 为实数）夏老师：请独立思考，并把探索发现的
2、与该函数有关的结论（性质）写到黑板上学生独立思考后，黑板上出现了一些结论夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：存在函数，其图象经过点（1，0）；存在函数，该函数的函数值 y 始终随 x 的增大而减小；函数图象有可能经过两个象限；若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数上述结论中正确个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6如图，在 ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E，过点 E 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连接 CD，交 EF 于点 K，则下列说法正确的是（ ）2A B C D二
3、填空题（共 12 小题，满分 48 分，每小题 4 分）7已知 ，则 的值是 8如图，已知等边三角形 ABC 边长为 1， ABC 的三条中位线组成 A1B1C1， A1B1C1的三条中位线组成 A2B2C2，依此进行下去得到 A5B5C5的周长为 9当两个相似三角形的相似比为 时，这两个相似三角形的面积比是 1：210如果 ABC DEF，且 ABC 的三边长分别为 4、5、6， DEF 的最短边长为 12，那么 DEF的周长等于 11如图，在 Rt ABC 中， ACB90，点 G 是 ABC 的重心， CG2，sin ACG ，则 BC 长为 12若点（1，5），（5，5）是抛物线 y
4、ax2+bx+c 上的两个点，则此抛物线的对称轴是 13函数 y ax2+bx+c（ a0）的图象如图所示，那么 ac 0（填“”，“”，或“”）14若二次函数 y2（ x+1） 2+3 的图象上有三个不同的点 A（ x1，4）、 B（ x1+x2， n）、C（ x2，4），则 n 的值为 15如图， AB CD， AD、 BC 相交于点 E，过 E 作 EF CD 交 BD 于点 F，如果3AB： CD2：3， EF6，那么 CD 的长等于 16如图，一人乘雪橇沿坡比 1： 的斜坡笔直滑下 72 米，那么他下降的高度为 米17二次函数 y x23 x+2 的图象不经过第 象限18如图，在 R
5、t ABC 中， BAC90，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到 AB C，连接CC，若 AC4， AB1，则 B C C 的面积为 三解答题（共 7 小题，满分 78 分）19（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上， CE2 BE， AC、 DE 相交于点 F（1）求 DF： EF 的值；（2）如果 ， ，试用 、 表示向量 20（10 分）已知二次函数 y（ x1） 2+n，当 x2 时， y2求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象21（10 分）如图，在 Rt ABC 中， C90，点 D 在 BC 边上， ADC45， BD2，
6、tan B（1）求 AC 和 AB 的长；（2）求 sin BAD 的值422（10 分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点 B 处测得楼顶 A的仰角为 22，他正对着城楼前进 21 米到达 C 处，再登上 3 米高的楼台 D 处，并测得此时楼顶A 的仰角为 45（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在 A， B 之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出 A， B 之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）（参考数据：sin22 ，cos22，tan22 ）23（12 分）如图，在 ABC 中，点 D， E 分别在边 AB， AC 上， AED B，
7、射线 AG 分别交线段DE， BC 于点 F， G，且 （1）求证： ADF ACG；（2）若 ，求 的值24（12 分）已知，如图 1，二次函数 y ax2+2ax3 a（ a0）图象的顶点为 C 与 x 轴交于 A、 B两点（点 A 在点 B 左侧），点 C、 B 关于过点 A 的直线 l： y kx+ 对称5（1）求 A、 B 两点坐标及直线 l 的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图 2，过点 B 作直线 BD AC 交直线 l 于 D 点， M、 N 分别为直线 AC 和直线 l 上的两个动点，连接 CN， MM、 MD，求 CN+NM+MD 的最小值25（14 分）如图，正方
8、形 ABCD 的边长为 4，点 E， F 分别在边 AB， AD 上，且 ECF45， CF的延长线交 BA 的延长线于点 G， CE 的延长线交 DA 的延长线于点 H，连接 AC， EF， GH（1）填空： AHC ACG；（填“”或“”或“”）（2）线段 AC， AG， AH 什么关系？请说明理由；（3）设 AE m， AGH 的面积 S 有变化吗？如果变化请求出 S 与 m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值请直接写出使 CGH 是等腰三角形的 m 值62019 年上海市杨浦区中考数学模拟试卷（3 月份）参考答案与试题解析一选择题（满分 24 分，每小题 4 分）1【分析】由 ，和比
9、例的性质解答即可【解答】解： ， ，故选： A【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答2【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可【解答】解：设这条道路的实际长度为 x，则 ，解得 x300000 cm3 km这条道路的实际长度为 3km故选： A【点评】此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换3【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是 1，即可求解【解答】解：sin 2A+cos2A1，即 sin2A+（ ） 21，sin 2A ，解得 sinA 或 （舍去），sin A 故选： D【点评】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同
10、一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角 ，都有 sin2+cos 214【分析】长度不为 0 的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解【解答】解： A、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；7B、符合向量的长度及方向，故本选项正确；C、得出的是 a 的方向不是单位向量，故本选项错误；D、左边得出的是 a 的方向，右边得出的是 b 的方向，两者方向不一定相同，故本选项错误故选： B【点评】本题考查了向量的性质，属于基础题5【分析】将（1，0）点代入函数，解出 k 的值即可作出判断；首先考虑，
11、函数为一次函数的情况，从而可判断为假；根据即可作出判断；当 k0 时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当 k0 时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断【解答】解：将（1，0）代入可得：2 k（4 k+1） k+10，解得： k0，此选项正确当 k0 时， y x+1，该函数的函数值 y 始终随 x 的增大而减小；此选项正确； y x+1，经过 3 个象限，此选项错误；当 k0 时，函数无最大、最小值；k0 时， y 最 ，当 k0 时，有最小值，最小值为负；当 k0 时，有最大值，最大值为正；此选项正确正确的是故选： C【点评】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特
12、例的方法是解决问题常用方法6【分析】利用相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理证明即可；【解答】解： DE CF， DEK CFK， ， EK AD， ， ，故选： C8【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型二填空题（共 12 小题，满分 48 分，每小题 4 分）7【分析】已知 ，可设 a2 k，则 b3 k，代入所求的式子即可求解【解答】解：设 a2 k，则 b3 k 【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键8【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第
13、三边的一半求出A1B1 AC， B1C1 AB， A1C1 BC，从而得到 A1B1C1是 ABC 周长的一半，依此类推，下一个三角形是上一个三角形的周长的一半，根据此规律求解即可【解答】解： ABC 的三条中位线组成 A1B1C1， A1B1 AC， B1C1 AB， A1C1 BC， A1B1C1的周长 ABC 的周长 3 ，依此类推， A2B2C2的周长 A1B1C1的周长 ，则 A5B5C5的周长为 ，故答案为： 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，求出后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半是解题的关键9【分析】直接利用相似三角形的性质分析得
14、出答案【解答】解：相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个相似三角形的面积比是 1：2 时，两个相似三角形的相似比为：1： 故答案为：1： 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比与相似比的关系是解题关键10【分析】根据题意求出 ABC 的周长，根据相似三角形的性质列式计算即可9【解答】解：设 DEF 的周长别为 x， ABC 的三边长分别为 4、5、6， ABC 的周长4+5+615， ABC DEF， ，解得， x45，故答案为：45【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键11【分析】延长 CG 交 AB 于 D，作 DE
15、BC 于 E，由点 G 是 ABC 的重心，得到 CG2，求得CD3，点 D 为 AB 的中点，根据等腰三角形的性质得到 DC DB，又 DE BC，求得CE BE BC，解直角三角形即可得到结论【解答】解：延长 CG 交 AB 于 D，作 DE BC 于 E，点 G 是 ABC 的重心， CG2， CD3，点 D 为 AB 的中点， DC DB，又 DE BC， CE BE BC， ACG+ DCE DCE+ CDE90， ACG CDE，sin ACGsin CDE ， CE2， BC4故答案为：4【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重10心是三
16、角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍是解题的关键12【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴【解答】解：点（1，5），（5，5）是抛物线 y ax2+bx+c 上的两个点，且纵坐标相等根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线 x 3故答案为： x3【点评】本题考查了抛物线的对称性，是比较灵活的题目13【分析】观察函数图象，由抛物线的开口方向及抛物线与 y 轴的交点位置，可得出a0， c0，进而可得出 ac0，此题得解【解答】解：抛物线开口向下，与 y 轴交于正半轴， a0， c0， ac0故答案为：【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察函数图象，
17、找出 a0， c0 是解题的关键14【分析】先根据点 A， C 的坐标，建立方程求出 x1+x22，代入二次函数解析式即可得出结论【解答】解： A（ x1，4）、 C（ x2，4）在二次函数 y2（ x+1） 2+3 的图象上，2（ x+1） 2+34，2 x2+4x+10，根据根与系数的关系得， x1+x22， B（ x1+x2， n）在二次函数 y2（ x+1） 2+3 的图象上， n2（2+1） 2+35，故答案为 5【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出 x1+x22 是解本题的关键15【分析】由 ABE DCE，推出 ，可得 ，再证明 BEF BCD，可得
18、 ，由此即可解决问题【解答】解： AB CD，11 ABE DCE， ， ， EF CD， BEF BCD， ， EF6， CD15，故答案为 15【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型16【分析】因为其坡比为 1： ，则坡角为 30 度，然后运用正弦函数解答【解答】解：因为坡度比为 1： ，即 tan ，30则其下降的高度72sin3036（米）【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用17【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到该函数图象不经过哪个象限【解答】解： y x23 x+2（ x ） 2 ，该函
19、数图象的顶点坐标为（ ， ）且经过点（0，2），函数图象开口向上，该函数图象不经过第三象限，故答案为：三【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答18【分析】先根据旋转的性质得 AC AC4， AB AB1， CAC90，则可判断ACC为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解： ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后得到的 AB C，12 AC AC4， AB AB1， CAC90， ACC为等腰直角三角形， S B C C S ACC S AB C 44 416故答案为 6【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形全等，还考查了
20、三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解题的关键三解答题（共 7 小题，满分 78 分）19【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则即可解决问题；【解答】解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， AD BC， ， CE2 BE， ， （2） CE2 BE， ， ， ， ， ， ， 【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型20【分析】将（2，2）代入 y（ x1） 2+n 求得 n 的值即可，再由函数解析式画出函数图象13【解答】解：二次函数 y（ x1） 2+n，当 x
21、2 时， y2，2（21） 2+n，解得 n1，该二次函数的解析式为 y（ x1） 2+1列表得：如图：【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键21【分析】（1）由 tanB 设 AC3 x、 BC4 x，据此得 DC4 x2，根据 ADC45得AC DC，即 3x4 x2，解之得出 x 的值，继而可得答案；（2）作 DE AB，设 DE3 a、 BE4 a，根据 DE2+BE2 BD2可求得 a 的值，继而根据正弦函数的定义可得答案【解答】解：（1）如图，在 Rt ABC 中，tan B ，设 AC3 x、
22、 BC4 x，14 BD2， DC BC BD4 x2， ADC45， AC DC，即 4x23 x，解得： x2，则 AC6、 BC8， AB 10；（2）作 DE AB 于点 E，由 tanB 可设 DE3 a，则 BE4 a， DE2+BE2 BD2，且 BD2，（3 a） 2+（4 a） 22 2，解得： a （负值舍去）， DE3 a ， AD 6 ，sin BAD 【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及根据题意构建直角三角形的能力22【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度；（2）根据（1）中的结果和锐
23、角三角函数可以求得 A， B 之间所挂彩旗的长度【解答】解：（1）作 AF BC 交 BC 于点 F，交 DE 于点 E，如右图所示，由题意可得， CD EF3 米， B22， ADE45， BC21 米， DE CF， AED AFB90， DAE45， DAE ADE， AE DE，设 AF a 米，则 AE（ a3）米，15tan B ，tan22 ，即 ，解得， a12，答：城门大楼的高度是 12 米；（2） B22， AF12 米，sin B ，sin22 ， AB 32，即 A， B 之间所挂彩旗的长度是 32 米【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确
24、题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答23【分析】（1）由 AED B、 DAE CAB 利用三角形内角和定理可得出 ADF C，结合 ，即可证出 ADF ACG；（2）根据相似三角形的性质可得出 ，由 可得出 ，再结合 FG AG AF 即可求出 的值【解答】（1）证明： AED B， DAE CAB， ADF C又 ， ADF ACG（2） ADF ACG， 16 ， ， 1【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键24【分析】（1） y ax2+2ax3 a，令 y0，则 x1 或 3，即可求解；（2）设点 C 的坐标
25、为（1， m），点 C、 B 关于过点 A 的直线 l： y kx+ 对称得 AC2 AB2，即可求解；（3）连接 BC，则 CN+MN 的最小值为 MB（即： M、 N、 B 三点共线），作 D 点关于直线 AC 的对称点 Q 交 y 轴于点 E，则 MB+MD 的最小值为 BQ（即： B、 M、 Q 三点共线），则 CN+MN+MD 的最小值 MB+MD 的最小值 BQ，即可求解【解答】解：（1） y ax2+2ax3 a，令 y0，则 x1 或 3，即点 A、 B 的坐标分别为（3，0）、（1，0），点 A 坐标代入 y kx+ 得：03 k+ ，解得： k ，即直线 l 的表达式为：
26、y x+ ，同理可得直线 AC 的表达式为： y x+3 ，直线 BD 的表达式为： y ，联立并解得： x3，在点 D 的坐标为（3，2 ）；（2）设点 C 的坐标为（1， m），点 C、 B 关于过点 A 的直线 l： y kx+ 对称得 AC2 AB2，即：（3+1） 2+m216，解得： m （舍去负值），点 C（1，2 ），将点 C 的坐标代入二次函数并解得： a ，故二次函数解析式为： y x2 x+ ；（3）连接 BC，则 CN+MN 的最小值为 MB（即： M、 N、 B 三点共线），17作 D 点关于直线 AC 的对称点 Q 交 y 轴于点 E，则 MB+MD 的最小值为 B
27、Q（即： B、 M、 Q 三点共线），则 CN+MN+MD 的最小值 MB+MD 的最小值 BQ， DQ AC， AC BD， QDB90，作 DF x 轴交于点 F，DF ADsin DAF4 2 ， B、 C 关于直线 l 对称，即直线 l 是 EAF 的平分线， ED FD2 ，则 QD4 ， BD4， BQ 8，即 CN+NM+MD 的最小值为 8【点评】本题为二次函数综合运用，考查的是点的对称性、一次函数等知识点，其中（3）求CN+NM+MD 的最小值难度很大，主要是利用两次点的对称求解，本题难度较大25【分析】（1）证明 DAC AHC+ ACH45， ACH+ ACG45，即可推
28、出 AHC ACG；（2）结论： AC2 AGAH只要证明 AHC ACG 即可解决问题；（3） AGH 的面积不变理由三角形的面积公式计算即可；分三种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）四边形 ABCD 是正方形， AB CB CD DA4， D DAB90 DAC BAC45， AC 4 ， DAC AHC+ ACH45， ACH+ ACG45，18 AHC ACG故答案为（2）结论： AC2 AGAH理由： AHC ACG， CAH CAG135， AHC ACG， ， AC2 AGAH（3） AGH 的面积不变理由： S AGH AHAG AC2 （4 ） 216 AGH 的面
29、积为 16如图 1 中，当 GC GH 时，易证 AHG BGC，可得 AG BC4， AH BG8， BC AH， ， AE AB 如图 2 中，当 CH HG 时，19易证 AH BC4， BC AH， 1， AE BE2如图 3 中，当 CG CH 时，易证 ECB DCF22.5在 BC 上取一点 M，使得 BM BE， BME BEM45， BME MCE+ MEC， MCE MEC22.5， CM EM，设 BM BE x，则 CM EM x， x+ x4， m4（ 1）， AE44（ 1）84 ，综上所述，满足条件的 m 的值为 或 2 或 84 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角20形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
