1、- 1 -长春市实验中学 2016 级高三上学期期末考试数学（文科）试卷一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出 N 中 x 的范围确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可【详解】 M ， N x|1 ex e x|0 x1， MN ，故选： C【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.已知 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为 ，由题意得 ，解得 a=2，故选 A考点：点评：解决本题的关键是
2、掌握纯虚数的定义3.方程 的根的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：方程 的根转化为函数 的交点个数，通过函数图像可知有两个交点，即方程有两个根考点：函数性质及函数与方程的转化4.等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知结合等差数列的前 n 项和求得 ，再由等差数列的性质得答案【详解】在等差数列 an中，由 ，得 ，即 4又 2 ， ， =2，故选： A【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前 n 项和，是基础题5.已知向量 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
3、， . ，即 ， .故选 B.【考点定位】向量的坐标运算【此处有视频，请去附件查看】6.将函数 图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数的图像，则函数 的图像的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】- 3 -将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数的图象，则 ，由题可得当 时，.即函数 的图象的一个对称中心是故选 D7.若如图的程序框图输出的 是 ，则应为 （ ）A. ?B. ?C. ?D. ?【答案】A【解析】由于 ,所以退出循环体时，n 的值为 7,因而应填条件为.8.已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为
4、 的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】- 4 -试题分析：有三视图可知，几何体是以直角边为 的等腰直角三角形为底面、高为 的三棱锥，它的外接球与棱长为 的正方体的外接球相同，外接球直径 ,表面积为 ，故选B.考点：1、几何体的三视图；2、球的表面积公式.9.设 为抛物线 的焦点，曲线 与 交于点 ， 轴，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由抛物线的性质可得 ，故选 D.考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.【此处有视频，请去附件查看】10.设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（
5、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当 时, ；当时, .综上,实数 的范围为 .故选 B.考点：对数的性质；分类讨论思想.- 5 -【易错点睛】本题主要考查了对数的性质;分类讨论思想;分段函数等知识.比较对数的大小的方法：（1）若底数相同，真数不同，则可构造相关的对数函数，利用其单调性比较大小 （2）若真数相同，底数不同，则可借助函数在直线 右侧“底大图低”的特点比较大小或利用换底公式统一底数 （3）若底数、真数均不同，则经常借助中间量“ ”、 “ ”或“ ”比较大小.11.若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有 性质下列函数中具有 性
6、质的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：选项 A 中 ，令 具有 性质，故选 A.考点：导数及其性质.【此处有视频，请去附件查看】12.已知函数 ，则函数 满足（ ）A. 最小正周期为 B. 图像关于点 对称C. 在区间 上为减函数 D. 图像关于直线 对称【答案】D【解析】函数 f（ x） =cos（ x+ ） sinx=（ cosx sinx） sinx= sin2x = （ sin2x+cos2x） = sin（ 2x+ ） + ，故它的最小正周期为 ，故 A 不正确；令 x= ，求得 f（x）= + = ，为函数 f（x）的最大值，故函数 f（x）的图象关于直线
7、x= 对称，- 6 -且 f（x）的图象不关于点（ ， ）对称，故 B 不正确、D 正确；在区间（0， ）上，2x+ （ ， ） ，f（x）= sin（2x+ ）+ 为增函数，故 C 不正确，故选：D二、填空题.13.已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ） 【答案】【解析】试题分析：如图所示,当 在 时 取最小值,此时 .考点：简单的线性规划.14.设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则公差 （ ） 【答案】【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.【详解】由题意可知， ，即 ，又 ，两式相减得 ， .【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
8、15.在 中，若 ， ， ，则 _ .【答案】【解析】在 中，若 ， ， A 为锐角， ， ，则根据正弦定理- 7 -= 。16.已知函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，当 时， ，则（ ） 【答案】【解析】【分析】根据 f（ x）是周期为 4 的奇函数即可得到 f（ ） f（8 ） f（ ） f（ ） ，利用当 0 x2 时， f（ x）4 x，求出 f（ ） ，再求出 f（2） ，即可求得答案【详解】 f（ x）是定义在 R 上周期为 4 的奇函数， f（ ） f（8 ） f（ ） f（ ） x（0，2）时， f（ x）4 x， f（ ）2， f（ x）是定义在 R 上周期为 4 的奇函
9、数， f（-2） f（2+4） f（2） ，同时 f（2） f（2） ， f（2）0， f（ ）+ f（2）2故答案为：2【点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式f（ x）所在区间上，属于中档题三解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项等比数列 ，其前 n 项和为 满足： ， ，（1）求 ；（2）令 ，数列 的前 n 项和为 ，求 .【答案】 （1） （2）- 8 -【解析】【分析】（1）设公比为 q（ q0） ，由已知可得解得 q=3， ，可得 .(2) ，再在每一段中求和，可得结果.【详解】 （1）设公比为 q（ q0）由已知可得：
10、 解得 q=3， q=-1（舍），解得 ，(2) ， 所以当 时， ；当 时，综上可知 .【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前 n 项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用18.某中学对高三年级的学生进行体质测试，已知高三、一班共有学生 30 人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位： ）：男 女 7 16 5 7 8 9 99 8 17 1 8 4 5 2 93 5 6 18 0 2 7 5 41 2 4 19 0 1185202122- 9 -男生成绩不低于 的定义为“合格” ，成绩低于 的定义为“不合格” ；女生成绩不低于 的定义为“合格” ，
11、成绩低于 的定义为“不合格”.(1) 求女生立定跳远成绩的中位数；(2) 若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取 6 个人，求抽取成绩“合格”的男生人数；(3) 若从(2)问所抽取的 6 人中任选 2 人，求这 2 人中恰有 1 人成绩“合格”的概率.【答案】 （1）166.5cm（2）4 人（3）【解析】【分析】（1）由茎叶图能求出女生立定跳远成绩的中位数（2）男生成绩“合格”的有 8 人， “不合格”的有 4 人，用分层抽样的方法，能求出其中成绩“合格”的学生应抽取的人数（3）由（2）可知 6 人中，4 人合格，2 人不合格，设合格学生为 A， B， C， D，不合格学生为 ,利用列举
12、法能求出这 2 人中恰有 1 人成绩“合格”的概率【详解】(1) 女生立定跳远成绩的中位数 cm (2)男生中成绩“合格”和“不合格”人数比为 ，用分层抽样的方法抽取 6 个人，则抽取成绩“合格”人数为 4 人； （3）由(2)设成绩“合格”的 4 人为 A， B， C， D，成绩“不合格”的 2 人为 ,从中选出 2人有（ A,B） ， （ A,C） ， （ A,D） ， （ A, ） ， （ A, ） ， （ B,C） ， （ B,D） ， （ B, ） ， （ B, ） ， （ C,D） ， （ C, ） ，（ C, ） ， （ D, ） ， （ D, ） ， （ ） ，共 15 种，
13、其中恰有 1 人成绩“合格”的有（ A, ） ， （ A, ） ， （ B, ） ， （ B, ） ， （ C, ） ， （ C, ） ， （ D, ） ， （ D,） ，共 8 种，故所求事件概率为 .【点睛】本题考查中位数、概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、分层抽样、等可能事件概率计算公式的合理运用19.已知椭圆 C： 的右焦点 F2和上顶点 B 在直线 上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于 两点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求 面积的最小值.- 10 -【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由已知可得椭圆的右焦点为 F2（1，0） ，上顶点为 B ， 故 c=1
14、， b= ，可求椭圆标准方程 （2）设 M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ，直线 的方程为 ， 与椭圆方程联立得：，利用韦达定理得到 ，又，求得 的最小值，即可得 的最小值.【详解】 （1） 椭圆 C： 的右焦点 F2和上顶点 B 在直线 上，椭圆的右焦点为 F2（1，0） ，上顶点为 B ， 故 c=1， b= ， a2=b2+c2=4，所求椭圆标准方程为 （2）设 M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ，直线 的方程为 联立 得： ，= ，,，令 ，函数 在 上为增函数，- 11 -故当 即 时， ，此时三角形 的面积取得最小值为 .【点睛】本题考查椭圆方程的求法，
15、考查三角形面积的表示方法及最值的求法，解题时要认真运算，属于中档题20.四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形， ， ， M 为 PA 上一点，且 ，（1）证明： PC/平面 MBD；（2）若 ，四棱锥 的体积为 ，求直线 AB 与平面 MBD 所成角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）连结 AC 交 BD 于 N 点，连结 MN，可证 ，从而可证得 .（2）不妨设 ，根据四棱锥 的体积为 ，解得 ； 利用等体积法，设点 到平面 的距离为 ， ,解得 ， 可得结果.【详解】 （1）连结 AC 交 BD 于 N 点，连结 MN，则 又 ， ， ，（2）不妨设 ，因为 P
16、A=AD=3，四棱锥 的体积为 ，所以 ，解得 ； 设点 到平面 的距离为 ，利用体积相等， ,在 中，- 12 -,利用余弦定理可求得 ,所以 ，所以三角形 的面积 ,代入 中得： ，解得 ， 又因为 ,所以直线 AB 与平面 MBD 所成角的正弦值为 .【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的求法及三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21.已知函数 的图象与直线 相切，（1）求 b 的值；（2）当 时， 恒成立，求实数 a 的取值范围.【答案】 （1） b=1（2）【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，利用 ，得到切点坐标，代入 求 b 的值；
17、（2）由 ，设 （ x0） ，利用导函数求出 g（ x）在 x ， e上的最大值即可求实数 a的取值范围【详解】 （1）， 在 上为增函数，且切点的坐标为 ，将 代入 得 1+b=2， b=1(2)由 ，令- 13 -，时，g(x)为减函数， 时，g(x)为增函数，显然 ,.【点睛】本题主要研究利用导数求切线方程以及函数恒成立问题当 a g（ x）恒成立时，只需要求 g（ x）的最大值；当 a h（ x）恒成立时，只需要求 g（ x）的最小值，这种转化是解题的关键.22.选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ；以原点 极点，以 轴正半轴为极轴，建立极
18、坐标系，曲线 的极坐标方程为 . 求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； 试判断曲线 与 是否存在两个交点，若存在求出两交点间的距离；若不存在，说明理由.【答案】(1)曲线 ： ，曲线 ： ；(2) .【解析】试题分析：(1) 根据参数方程与普通方程的关系，对于曲线 消去参数可得： ，再根据极坐标方程与直角坐标方程的关系，对于曲线 可转化为： ；(2) 根据题意显然曲线 ： 为直线，则其参数方程可写为 （为参数）与曲线 ：联立，可知 ，所以 与 存在两个交点，由 ， ，得.- 14 -试题解析：(1) 对于曲线 有 ，对于曲线 有 .(5 分)(2) 显然曲线 ： 为直线，则其参数方程可写
19、为 （为参数）与曲线 ：联立，可知 ，所以 与 存在两个交点，由 ， ，得 . (10 分)考点：1.极坐标方程与平面直角坐标方程的互化；2.利用直线的参数方程的几何意义求解23.选修 45：不等式选讲 设函数 ， . 当 时，求不等式 的解集； 对任意 恒有 ，求实数 的取值范围. 【答案】(1) ；(2)【解析】试题分析：（）根据找零点法去绝对值将函数 改写为分段函数,根据函数的单调性结合数形结合可求得不等式的解集 （）根据公式 可求得函数 的最小值,使其最小值大于等于 3 即可求得 的取值范围试题解析：（）当 时，所以 的解集为 或(2) ,由 恒成立，有，解得 所以 的取值范围是 考点：绝对值不等式- 15 - 16 -
