1、第6节 正弦定理和余弦定理,最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.,知 识 梳 理,1.正、余弦定理,在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin Bsin C,3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：,一解,两解,一解,一解,无解,微点提醒,1.三角形中的三角函数关系,(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；,2.三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；b
2、acos Cccos A；cbcos Aacos B. 3.在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin Bcos Acos B.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.( ) (3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( ) (4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，ABC为钝角三角形.( ),解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
3、(3)已知三角时，不可求三边. (4)当b2c2a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修5P10A4改编)在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC( ),答案 C,3.(必修5P10B2改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_.,解析 由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B， 即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形,答案 D,答案 A,由a2b2c22bccos A，可得84c2c23c2， 解得c2(舍负)，则
4、b4.,考点一 利用正、余弦定理解三角形,结合bc得B45，则A180BC75. (2)(ab)(sin Asin B)(cb)sin C， 由正弦定理得(ab)(ab)c(cb)，即b2c2a2bc.,答案 (1)75 (2)B (3)C,规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.,解析 (1)
5、由题意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0， sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，,则有cos 2Ccos C0，即2cos2Ccos C10，,由4sin B3sin A，得4b3a， 又ab1， 联立，得a4，b3，,满足条件的三角形有2个. 答案 (1)B (2)A (3)B,考点二 判断三角形的形状,A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 (2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三
6、角形 D.不确定,又B(0，)，所以sin B0， 所以sin C0，所以cos B0， 即B为钝角，所以ABC为钝角三角形.,(2)由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A， sin(BC)sin2A，即sin Asin2A.,答案 (1)A (2)B,规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.,【训练2】 若将本例(
7、2)中条件变为“cacos B(2ab)cos A”，判断ABC的形状.,解 cacos B(2ab)cos A，C(AB)， 由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A， sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A， cos A(sin Bsin A)0， cos A0或sin Bsin A，,ABC为等腰或直角三角形.,考点三 和三角形面积、周长有关的问题 多维探究 角度1 与三角形面积有关的问题,(1)求c； (2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积.,即c22c240，解得
8、c6(舍去)，c4.,角度2 与三角形周长有关的问题,则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)， ABC周长abc4bc12，即最大值为12. 答案 12,【训练3】 (2019潍坊一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a2c)cos Bbcos A0.(1)求B；,(2)由余弦定理，得9a2c22accos B. a2c2ac9，则(ac)2ac9.,解 (1)由已知及正弦定理得 (sin A2sin C)cos Bsin Bcos A0， (sin Acos Bsin Bcos A)2sin Ccos B0， sin(AB)2sin Ccos B0， 又s
9、in(AB)sin C，且C(0，)，sin C0，,思维升华 1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系. 2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.,易错防范 1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论. 另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象. 2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.,
