1、1专题突破练(3) 三角函数与其他知识的综合应用一、选择题1若 f(cosx)cos2 x，则 f(sin15)( )A B C D12 12 32 32答案 C解析 f(sin15) f(cos75)cos150cos30 故选 C322点 P从(2，0)点出发，沿圆 x2 y24 按逆时针方向运动 弧长到达点 Q，则点 Q43的坐标为( )A(1， ) B( ，1)3 3C(1， ) D( ，1)3 3答案 A解析 弧长所对的圆心角为 ，设点 Q的坐标为( x， y)， x2cos43 432 231， y2sin 故选 A23 23 33有四个关于三角函数的命题：p1： x0R，sin
2、2 cos 2 ；x02 x02 12p2： x0， y0R ，sin( x0 y0)sin x0sin y0；p3： x0， sin x；1 cos2x2p4：sin xcos yx y 2其中是假命题的是( )A p1， p4 B p2， p4 C p1， p3 D p3， p4答案 A解析 p1是假命题， xR ，sin 2 cos 2 1； p2是真命题，如 x y0 时成立；x xp3是真命题， x0， ，sin x0， |sin x|sin x； p4是假1 cos2x2 sin2x命题， x ， y2 时，sin xcos y，但 x y 故选 A2 24 ABC中， a， b，
3、 c分别是角 A， B， C的对边，向量 p(1， )，32q(cos B，sin B)， p q且 bcosC ccosB2 asinA，则 C( )A30 B60 C120 D150答案 A解析 p q， cosBsin B，即得 tanB ，3 3 B120， bcosC ccosB2 asinA，由正弦定理得sinBcosCsin CcosB2sin 2A，即 sinAsin( B C)2sin 2A，sin A0 得sinA ， A30， C180 A B30故选 A125(2018福州五校联考二)已知 a2 ， b(2log23) ， ccos50cos1013 12cos140s
4、in170，则实数 a， b， c的大小关系是( )A acb B bac C abc D cba答案 C解析 因为 a2 ， b(2log23) 3 ，所以 ab，排除13 1213 1416 12 12 1312 12716B，D； ccos50cos10cos140sin170sin40cos10cos40sin10sin30 ，所以 bc，所以 abc选 C12 14126(2018河北保定一模)国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)如果小正方形的边长为 2，大正方形的边长为 10，直角三角形中较小
5、的锐角为 ，则sin cos ( )2 3A B4 3310 4 3310C D 4 3310 4 3310答案 A解析 设直角三角形中较小的直角边长为 a，则 a2( a2) 210 2，解得 a6，所以sin ，cos ，sin cos cos cos sin cos610 35 810 45 2 3 12 32 12 sin 故选 A32 12 45 32 35 4 331037(2018河南十所名校测试)已知函数 f(x)2sin x 的两个极值点为 ， ，3且| |min ，则函数 f(x)在 0， 上的最大值为( )2 2A B1 C D23 3答案 D解析 由题意得 f(x)的最
6、小正周期为 T，所以 2，即 f(x)2sin2 x ，因3为 x0， ，所以 2x ， ，所以 f(x)的最大值为 2故选 D2 3 3438(2018江西吉安模拟)已知函数 f(x)Error!则函数 g(x)sin 的一个单调递增区间为( )2x f(23)A B0，2 2， C D4， 34 34， 54答案 A解析 f f f cos ， g(x)(23) (23 ) ( 3) 3 2sin sin2 x cos2 x，令 2k2 x2 k，求得 k x k2x f(23) 2，可得 g(x)的增区间为 ， kZ，令 k0，可得增区间为 故选2 k ， k 2 0， 2A9(2018
7、山东济南二模)如图，半径为 1的圆 O中， A， B为直径的两个端点，点 P在圆上运动，设 BOP x，将动点 P到 A， B两点的距离之和表示为 x的函数 f(x)，则y f(x)在0，2上的图象大致为( )4答案 A解析 由余弦定理，当 0 x 时， PB 1 1 2cosx 21 cosx2sin ，22sin2x2 x2PA 2cos ，1 1 2cos x 21 cosxx2 PB PA2sin 2cos 2 sin ，x2 x2 2 x2 4当 x2 时， PB 1 1 2cos2 x 2sin ， PA 21 cosxx2 1 1 2cosx 2cos ， PB PA2sin 2
8、cos 2 sin 故选 A21 cosxx2 x2 x2 2 x2 410(2018南昌一模)函数 f(x) ( x)的图象大致为( )ex e xsinxe2答案 A解析 由 f( x) f(x)，知函数 f(x)为奇函数，图象关于原e x exsin xe2点对称，排除 B；由于 exe x0，0 x 时，sin x0，所以 f(x)0，排除 D；考查函数 g(x)e xe x，则 g( x)e xe x ，当 x0 时， g( x)0，所以函数e2x 1exg(x)在(0，)上单调递增，则 g g ，且 ysin x在 0， 上单调递增，所以4 2 25f f ，排除 C故选 A4 2
9、11(2019湖南十校联考)已知函数 f(x) xsin x(xR)，且 f(y22 y3) f(x24 x1)0，则当 y1 时， 的取值范围是( )yx 1A， B，114 34 14C1，3 3 D，213答案 A解析 函数 f(x) xsin x(xR)为奇函数，又 f( x)1cos x0，所以函数 f(x)在实数范围内单调递增，则 f(x24 x1) f( y22 y3)，即( x2) 2( y1) 21，当y1 时表示的区域为半圆及其内部，令 k ，其几何意义为过点(1，0)yx 1 yx 1与半圆相交或相切的直线的斜率，斜率最小时直线过点(3，1)，此时 kmin ，13 1
10、14斜率最大时直线刚好与半圆相切，圆心到直线的距离 d 1( k0)，解得 kmax|2k 1 k|k2 1故选 A3412(2018邯郸摸底)若函数f(x)Error! 恰有 4个零点，则实数 m的取值范围为( )A ， ，1112 6 12 3B ， ， ，1112 23 512 6 12 3C ， ，1112 6 12 3D ， ， ，1112 23 512 6 12 3答案 B解析 令 g(x)sin2 x ， h(x)cos2 x ，在同一坐标系中作出 g(x)， h(x)在6 6， 上的图象，如图所示26g(x)在， 上的零点为 ， ， ；2 1112 51212h(x)在， 上的
11、零点为 ， ， 2 23 63由题 f(x)在， 上恰有 4个零点，结合图象可知，当2m ， ， ， 时，满足题意故选 B1112 23 512 6 12 3二、填空题13(2019湖南衡阳模拟)如图，圆 O与 x轴的正半轴的交点为 A，点 C， B在圆 O上，且点 C位于第一象限，点 B的坐标为 ， ， AOC ，若| BC|1，则 cos2 sin45 35 3 2cos 的值为_ 2 2 32答案 35解析 由 2 21 及点 B在圆 O上，知圆 O为单位圆，所以 OCB为正三角形，所45 35以 BOC ， AOB ，由三角函数定义知 sin ，所以3 3 3 35cos2 sin c
12、os cos sin sin 32 2 2 32 32 12 3 3514(2018南昌二模)如图，有一块半径为 20 m，圆心角 AOB 的扇形展示台，237展示台分成了四个区域：三角形 OCD，弓形 CMD，扇形 AOC和扇形 BOD(其中 AOC BOD)，某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜预计这三种菊花展示带来的日效益分别是 50元/m 2、30 元/m 2、40 元/m 2为使预计日总效益最大， COD的余弦值应等于_答案 12解析 由题知半径 r 20，设 COD ，则日总效益为 f( ) r2sin 50 r2 r2sin 30 r2404000
13、sin 2000 12 2 12 23 2，而 f( )4000cos 2000，令 f( )0，可得 cos ，易知此时日总160003 12效益 f( )取得最大值15(2018河北唐山摸底) ABC的垂心 H在其内部， A60， AH1，则 BH CH的取值范围是_答案 ( ，23解析 因为 ABC为锐角三角形，设 BAH ，且 (0，60)，所以BH2 AHsin 2sin ， CH2 AHsin(60 )2sin(60 )，所以 BH CH2sin 2sin(60 )2sin cos sin 2sin( 60)，又由 (0，60)，则 6032 12(60，120)，所以 2sin(
14、 60)( ，2，即 BH CH的取值范围是( ，23 316(2018河南一模)如图， OA， OB为扇形湖面 OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区区域和区域，点 C在 上， COA ， CD OA，其中 ，半AB AC径 OC及线段 CD需要用渔网制成若 AOB ， OA1，则所需渔网的最大长度为3_答案 6 2368解析 由 CD OA， AOB ， COA 可得3 OCD ， ODC ， COD ，在 OCD中利用正弦定理可得23 3CD sin ， 0， ，设渔网的长度为 f( )，则 f( )23 3 3 1 sin ， f( )1 cos ， 0， ，则 0， ，
15、23 3 23 3 3 3 3令 f( )0，则 cos ， ， 3 32 3 6 6 0，6 6，6 3f( ) 0 f( ) 极大值 则 f( )2， ，故所需渔网的最大长度为 6 236 6 236三、解答题17(2018河北石家庄质检一)已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且(a c)2 b2 ac34(1)求 cosB的值；(2)若 b ，且 sinA，sin B，sin C成等差数列，求 ABC的面积13解 (1)由( a c)2 b2 ac，34可得 a2 c2 b2 ac54 ，即 cosB a2 c2 b22ac 58 58(2) b ，cos B
16、 ，1358 b213 a2 c2 ac( a c)2 ac，54 134又 sinA，sin B，sin C成等差数列，由正弦定理，得9a c2 b2 ，1352 ac， ac1213134由 cosB ，得 sinB ，58 398 ABC的面积 S ABC acsinB 12 12 12 398 339418(2018湖北八市联考)函数 f(x)sin( x ) 0，| |BC10，由余弦定理知 cos60 ，AB2 AC2 1002ABAC整理知( AB AC)21003 ABAC，由基本不等式知 ABAC 2AB AC2 2，AB AC2 1003 AB AC2解得 AB AC20故 AB AC的取值范围为(10，2012
