1、1函数与方程思想专练一、选择题1椭圆 y21 的两个焦点为 F1， F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，其一x24交点为 P，则| PF2|( )A B C D432 3 72答案 C解析 如图，令| F1P| r1，|F2P| r2，那么Error!Error!r2 故选 C722(2018湖北七校联考)已知 f(x)是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函数y f(2x21) f( x)只有一个零点，则实数 的值是( )A B C D14 18 78 38答案 C解析 依题意，方程 f(2x21) f( x)0 只有 1 个解，故 f(2x21) f( x) f(x )有 1 解
2、，所以 2x21 x ，即 2x2 x1 0 有唯一解，故 18(1 )0，解得 故选 C783设 a1，若对于任意的 x a，2 a，都有 y a， a2满足方程 logaxlog ay3，这时 a 的取值的集合为( )A a|11，由此解得 a2故选 B124若 2x5 y2 y5 x，则有( )A x y0 B x y0 C x y0 D x y0答案 B解析 原不等式可变形为 2x5 x2 y5 y即 2x x2 y y(15) (15)故设函数 f(x)2 x x，(15)f(x)为增函数，所以 x y，即 x y0故选 B5为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 ACB60
3、， BC 的长度大于1 米，且 AC 比 AB 长 05 米，为了稳固广告牌，要求 AC 越短越好，则 AC 最短为( )A1 米 B2 米32C(1 ) 米 D(2 ) 米3 3答案 D解析 由题意，设 BC x(x1)米， AC t(t0)米，则 AB AC05( t05)米，在 ABC 中，由余弦定理得 AB2 AC2 BC22 ACBCcos60，即( t05) 2 t2 x2 tx，化简并整理得 t (x1)，即 t x1 2，因 x1，故x2 0.25x 1 0.75x 1t x1 22 当且仅当 x1 时取等号，此时 t 取最小值 2 故选 D0.75x 1 3 32 3二、填空
4、题6设 a1， d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列 an的前 n 项和为 Sn，满足S5S6150，则 d 的取值范围是_答案 (，2 2 ，)2 2解析 由 S5S6150 得(5 a110 d)(6a115 d)150，即2a 9 a1d10 d210， 81 d28(10 d21)0，解得 d2 或 d2 21 2 27若存在两个正实数 x， y，使得等式 x3e ay30 成立，其中 e 为自然对数的底数，yx3则实数 a 的最小值为_答案 e327解析 由题意知 a ，设 t(t0)，则令 f(t) ，则 f( t) ，当 t3eyxyx3 yx ett3 ett 3t
5、4时， f( t)0，当 00)，BDDC ABAC 32则 BC5 x，由 cos BDAcos ADC0 知 0，9x2 18 36182x 4x2 18 16122x解得 x1，所以 BC510已知各项均不相等的等差数列 an的前 5 项和 S520，且 a1， a3， a7成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)若 Tn为数列 的前 n 项和，且存在 nN *，使得 Tn a n1 0 成立，求实数1anan 1 的取值范围解 (1)设数列 an的公差为 d，则Error!即 Error!又因为 d0，所以Error!所以 an n1(2)因为 ，1anan 1 1n 1n 2
6、1n 1 1n 2所以 Tn 12 13 13 14 1n 1 1n 2 12 1n 2 n2n 2因为存在 nN *，使得 Tn a n1 0 成立，所以存在 nN *，使得 (n2)0 成立，n2n 2即存在 nN *，使 成立n2n 22又 ，n2n 22 12n 4n 4且 (当且仅当 n2 时取等号)，12n 4n 4 116所以 即实数 的取值范围是， 116 11611设函数 f(x)ln x (a 为常数)ax 1(1)若曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值；(2)若函数 f(x)在(e，)内有极值，求实数 a 的取值范围5解 (1)函
7、数 f(x)的定义域为(0，1)(1，)，由 f(x)ln x 得 f( x) ，由于曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切ax 1 1x ax 12线与 x 轴平行，所以 f(2)0，即 0，所以 a 12 a2 12 12(2)因为 f( x) ，1x ax 12 x2 2 ax 1xx 12若函数 f(x)在(e，)内有极值，则函数 y f( x)在(e，)内有异号零点，令 (x) x2(2 a)x1设 x2(2 a)x1( x )(x )，可知 1，不妨设 ，则 (0，1)， (1，)，若函数 y f( x)在(e，)内有异号零点，即 y (x)在(e，)内有异号零点，所以 e，
8、又 (0)10，所以 (e)e 2(2 a)e1e 2，所以实数 a 的取值范围是 e 2，1e 1e12(2018河南联考)在平面直角坐标系中，动点 M 到定点 F(1，0)的距离与它到直线 x2 的距离之比是常数 ，记 M 的轨迹为 T22(1)求轨迹 T 的方程；(2)过点 F 且不与 x 轴重合的直线 m 与轨迹 T 交于 A， B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x 轴交于点 P，在轨迹 T 上是否存在点 Q，使得四边形 APBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由解 (1)设 M(x， y)，根据动点 M 到定点 F(1，0)的距离与它到直线 x2 的距离之
9、比是常数 ，22得 ，整理得 y21，x 12 y2|x 2| 22 x22轨迹 T 的方程为 y21x22(2)假设存在直线 m，设直线 m 的方程为 x ky1，由Error! 消去 x，得( k22) y22 ky10设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则y1 y2 ， x1 x2 k(y1 y2)2 ，2kk2 2 4k2 26线段 AB 的中点 H 的坐标为 ( 2k2 2， kk2 2) PQ AB，直线 PQ 的方程为 y k ，kk2 2 (x 2k2 2)令 y0，解得 x ，即 P 1k2 2 ( 1k2 2， 0)设 Q(x0， y0)， P， Q 关于点 H 对称， ， (y00)， 2k2 2 12(x0 1k2 2) kk2 2 12解得 x0 ， y0 ，即 Q 3k2 2 2kk2 2 ( 3k2 2， 2kk2 2)点 Q 在椭圆上， 22 22，( 3k2 2) ( 2kk2 2)解得 k2 ，12于是 ，即 ，1k2 2 1k 42直线 m 的方程为 y x 或 y x 42 42 42 427
