1、1第二节 函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2定义 当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D上是单调增函数当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 y f(x)在区间 D上是增函数或减函数，那么就说函数 y f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D叫做函数 y f(x)的单调区
2、间2函数的最值前提 设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足条件对于任意的 x I，都有 f(x) M；存在 x I，使得 f(x) M对于任意 x I，都有 f(x) M；存在 x I，使得 f(x) M结论 M为函数 y f(x)的最大值 M为函数 y f(x)的最小值小题体验1(2019常州一中月考) f(x)| x2|的单调递增区间为_答案：2，)2若函数 f(x) 在区间2， a上的最大值与最小值的和为 ，则 a_.1x 34解析：由 f(x) 的图象知， f(x) 在(0，)上是减函数，因为2， a(0，)，1x 1x2所以 f(x) 在2， a上也是减函数，1x所
3、以 f(x)max f(2) ， f(x)min f(a) ，12 1a所以 ，所以 a4.12 1a 34答案：43函数 f(x)是在区间(2,3)上的增函数，则 y f(x5)的一个递增区间是_解析：由2 x53，得7 x2，故 y f(x5)的递增区间为(7，2)答案：(7，2)1易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调” ，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集例如，函数 f(x)在区间(1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函
4、数，如函数 f(x) .1x3两函数 f(x)， g(x)在 x( a， b)上都是增(减)函数，则 f(x) g(x)也为增(减)函数，但 f(x)g(x)， 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比1f x小题纠偏1(2019海安期中)函数 f(x) 的单调递减区间为_x 12x 1答案： 和( ， 12) ( 12， )2已知函数 f(x)log 5(x23 x4)，则该函数的单调递增区间为_解析：由题意知 x23 x40，则 x4 或 x1，令 y x23 x4，则其图象的对称轴为 x ，32所以 y x23 x4 的单调递增区间为(4，)单调递减区间为(，1)，由复合函数的单调性知 f
5、(x)的单调递增区间为(4，)答案：(4，)3考 点 一 函 数 单 调 性 的 判 断 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1讨论函数 f(x) 在 x(1,1)上的单调性xx2 1解：设1 x1 x21，则 f(x1) f(x2) .x1x21 1 x2x2 1 x2 x1 x1x2 1 x21 1 x2 1因为1 x1 x21，所以 x2 x10， x1x210，( x 1)( x 1)0，21 2所以 f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)，故函数 f(x)在(1,1)上为减函数2已知函数 f(x) a (aR)，判断函数 f(x)的单调性，并用单调性的定
6、义证22x 1明解： f(x)在(，0)，(0，)上均为减函数，证明如下：函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，在定义域内任取 x1， x2，使 0 x1 x2，则 f(x2) f(x1) .22x2 1 22x1 1 2 2x1 2x2 2x1 1 2x2 1因为 0 x1 x2，所以 2x12 x2，2 x21,2 x11，所以 2x12 x20,2 x110,2 x210，从而 f(x2) f(x1)0，即 f(x2) f(x1)，所以 f(x)在(0，)上为减函数，同理可证 f(x)在(，0)上为减函数谨记通法1定义法判断函数单调性的步骤取值作 差 商 变 形 确 定 符 号 与
7、1的 大 小 得 出结 论2导数法判断函数单调性的步骤求 导 函 数 确 定 符 号 得 出 结 论考 点 二 求 函 数 的 单 调 区 间 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领求下列函数的单调区间：(1)y x22| x|1；(2)ylog (x23 x2)124解：(1)由于 yError!即 yError!画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令 u x23 x2，则原函数可以看作 ylog u与 u x23 x2 的复合函数12令 u x23 x20，则 x1 或 x2.所以函数 ylog (x23 x2)的定义域为(，
8、1)(2，)12又 u x23 x2 的对称轴 x ，且开口向上32所以 u x23 x2 在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而 ylog u在(0，)上是单调减函数，12所以 ylog (x23 x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)12由题悟法确定函数的单调区间的 3种方法提醒 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结即时应用1函数 f(x)log 2(x24)的单调递增区间为_解析：令 t x240，解得 x2 或 x2，故函数 f(x)的定义域为 x|x2 或 x2，且 f(x)
9、log 2t.利用二次函数的性质可得， t x24 在定义域 x|x2 或 x2内的单调递增区间为(2，)，所以函数 f(x)的单调递增区间为(2，)答案：(2，)52函数 y 231x的单调递增区间为_(13)解析：令 u2 x23 x12 2 .(x34) 18因为 u2 2 在 上单调递减，函数 y u在 R上单调递减(x34) 18 ( ， 34 (13)所以 y 231x在 上单调递增(13) ( ， 34答案： ( ，34考 点 三 函 数 单 调 性 的 应 用 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的
10、某一问中常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较数值的大小；(3)利用单调性解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值 题点全练角度一：求函数的值域或最值1(2019启东中学检测)设 mR，若函数 f(x)| x33 x2 m| m在 x0,2上的最大值与最小值之差为 3，则 m_.解析：令 y x33 x， x0,2，则 y3 x23.由 y0，得 1 x2；由 y0，得 0 x1，所以 y x33 x在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，所以当 x0,2时， y x33 x的值域为2,2， y x33 x2 m的值域为22 m,22 m当 m0 时， f(x
11、)max2， f(x)min0，不符合题意；当 m1 时， f(x)max f(2)23 m， f(x)min f(2)3 m2， f(x)max f(x)min4，不符合题意；当 0 m1 时， f(x)max f(2)23 m， f(x)min m， f(x)max f(x)min22 m3，解得 m ，符合题意；12当1 m0 时， f(x)max f(2)2 m， f(x)min m， f(x)max f(x)min22 m3，6解得 m ，符合题意；12当 m1 时， f(x)max2 m， f(x)min2 m， f(x)max f(x)min4，不符合题意综上可得， m .12答
12、案：12角度二：比较数值的大小2设函数 f(x)定义在实数集 R上，它的图象关于直线 x1 对称，且当 x1 时， f(x)3 x1，则 f ， f ， f 的大小关系为_( 用“”号表示)(13) (32) (23)解析：由题设知， f(x)的图象关于直线 x1 对称，当 x1 时， f(x)单调递减，当x1 时， f(x)单调递增，所以 f f f f ，又 1，所以 f f(32) (1 12) (1 12) (12) 13 12 23 (13) f ，即 f f f .(12) (23) (13) (32) (23)答案： f f f(23) (32) (13)角度三：利用单调性解函数
13、不等式3设函数 f(x)Error!若 f(a1) f(2a1)，则实数 a的取值范围是_解析：易知函数 f(x)在定义域(，)上是增函数， f(a1) f(2a1)， a12 a1，解得 a2.故实数 a的取值范围是(，2答案：(，24定义在 R上的奇函数 y f(x)在(0，)上递增，且 f 0，求不等式(12)f(log 19x)0 的解集解： y f(x)是定义在 R上的奇函数，且 y f(x)在(0，)上递增 y f(x)在(，0)上也是增函数，又 f 0，知 f f 0.(12) ( 12) (12)故原不等式 f(log 19x)0 可化为7f(log 19x) f 或 f f(
14、log 19x) f ，(12) ( 12) (0)log 19x 或 log 19x0，12 12解得 0 x 或 1 x3.13原不等式的解集为Error!.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值5(2019南通调研)已知函数 f(x)Error!( a0，且 a1)满足对任意 x1 x2，都有 0 成立，则实数 a的取值范围是_f x1 f x2x1 x2解析：由题意知 f(x)为减函数，所以Error!解得 0 a .14答案： (0，14通法在握函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数最值(五种常用方法)方法 步骤单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法 先作出
15、函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法 先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(2)比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解(3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“ f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(4)利用单调性求参数
16、的范围(或值)的方法视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单8调区间比较求参数；需注意若函数在区间 a， b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的提醒 若函数在区间 a， b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值演练冲关1(2019连云港调研)若函数 f(x)Error!是在 R上的减函数，则 a的取值范围是_解析：由题意得Error!解得6 a1.答案：6,1)2函数 f(x) b(a0)在 上的值域为 ，则ax 12， 2 12， 2a_， b_.解析：因为 f(x) b(a
17、0)在 上是增函数，ax 12， 2所以 f ， f(2)2.(12) 12即Error!解得 a1， b .52答案：1 523已知函数 f(x)ln(2| x|) ，则使得 f(x2) f(2x1)成立的 x的取值41 x2范围是_解析：由 f( x) f(x)可得函数 f(x)是定义域 R上的偶函数，且 x0 时函数 f(x)单调递增，则不等式等价于 f(|x2|) f(|2x1|)，即| x2|2 x1|，两边平方化简得 3x28 x30，解得 x3.13答案： (13， 3) 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019如皋中学月考)函数 f(x)| x22 x2|的增区间是_9解析：
18、因为函数 f(x)| x22 x2|( x1) 21|( x1) 21，所以函数 f(x)| x22 x2|的增区间是1，)答案：1，)2函数 y x(x0)的最大值为_x解析：令 t ，则 t0，所以 y t t2 2 ，结合图象知，当 t ，即x (t12) 14 12x 时， ymax .14 14答案：143(2018徐州质检)函数 f(x) xlog 2(x2)在区间1,1上的最大值为(13)_解析：因为 y x和 ylog 2(x2)都是1,1上的减函数，所以(13)y xlog 2(x2)是在区间1,1上的减函数，所以最大值为 f(1)3.(13)答案：34已知偶函数 f(x)在
19、区间0，)上单调递减，则满足 f(2x1) f(5)的 x的取值范围是_解析：因为偶函数 f(x)在区间0，)上单调递减，且 f(2x1) f(5)，所以|2x1|5，即 x2 或 x3.答案：(，2)(3，)5若函数 f(x) x22 ax与 g(x)( a1) 1 x在区间1,2上都是减函数，则 a的取值范围是_解析：因为 f(x) x22 ax( x a)2 a2在1,2上是减函数，所以 a1.又 g(x)( a1) 1 x在1,2上是减函数所以 a11，所以 a0.综上可知 0 a1.答案：(0,16(2019海门中学高三检测)已知函数 f(x)Error!满足对任意 x1 x2，都有
20、 f(x1) f(x2)成立，那么实数 a的取值范围是_解析：函数 f(x)满足对任意 x1 x2，都有 f(x1) f(x2)成立，函数 f(x)在定义域上是增函数，则满足Error! 即Error! 解得 a2.32答案： 32， 2)10 二保高考，全练题型做到高考达标1设函数 f(x) 在区间(2，)上是增函数，则 a的取值范围是ax 1x 2a_解析： f(x) a ，ax 2a2 2a2 1x 2a 2a2 1x 2a因为函数 f(x)在区间(2，)上是增函数所以Error! 解得 a1.答案：1，)2(2019江阴高三检测)设 a0 且 a1，函数 f(x)log a|ax2 x
21、|在3,5上是单调增函数，则实数 a的取值范围为_解析： a0 且 a1，函数 f(x)log a|ax2 x|log a|x(ax1)|在3,5上是单调增函数，当 a1 时， y x(ax1)在3,5上是单调增函数，且 y0，满足 f(x)是增函数；当 0 a1 时，要使 f(x)在3,5上是单调增函数，只需Error!解得 a .16 15综上可得， a1 或 a .16 15答案： (1，)16， 15)3对于任意实数 a， b，定义 mina， bError!设函数 f(x) x3， g(x)log 2x，则函数 h(x)min f(x)， g(x)的最大值是_解析：依题意， h(x)
22、Error!当 0 x2 时， h(x)log 2x是增函数，当 x2 时， h(x) x3 是减函数，所以 h(x)在 x2 时，取得最大值 h(2)1.答案：14(2018徐州一模)已知函数 y f(x)和 y g(x)的图象关于 y轴对称，当函数y f(x)和 y g(x)在区间 a， b上同时递增或者同时递减时，把区间 a， b叫做函数y f(x)的“不动区间” ，若区间1,2为函数 f(x)|2 x t|的“不动区间” ，则实数 t的取值范围是_解析：因为函数 y f(x)与 y g(x)的图象关于 y轴对称，所以 g(x) f( x)|2 x t|.因为区间1,2为函数 f(x)|
23、2 x t|的“不动区间” ，所以函数 f(x)|2 x t|和函数 g(x)|2 x t|在1,2上单调性相同，因为 y2 x t和函数 y2 x t的单调性相反，所以(2 x t)(2 x t)0 在1,2上恒成立，11即 2 x t2 x在1,2上恒成立，解得 t2.12答案： 12， 25(2018金陵中学月考)定义在2,2上的函数 f(x)满足( x1 x2)f(x1) f(x2)0， x1 x2，且 f(a2 a) f(2a2)，则实数 a的取值范围为_解析：函数 f(x)满足( x1 x2)f(x1) f(x2)0， x1 x2，所以函数在2,2上单调递增，所以Error!所以E
24、rror! 所以 0 a1.答案：0,1)6设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x0，)时， f(x)是增函数，则 f(2)，f()， f(3)的大小关系为_(用“”表示)解析：因为 f(x)是偶函数，所以 f(3) f(3)， f(2) f(2)又因为函数 f(x)在0，)上是增函数，所以 f() f(3) f(2)，所以 f(2) f(3) f()答案： f(2) f(3) f()7(2018苏州高三暑假测试)已知函数 f(x) x (a0)，当 x1,3时，函数axf(x)的值域为 A，若 A8,16，则 a的值等于_解析：因为 A8,16，所以 8 f(x)16 对任意的 x1,3恒
25、成立，所以Error!对任意的 x1,3恒成立，当 x1,3时，函数 y16 x x2在1,3上单调递增，所以16x x215,39，函数 y8 x x2在1,3上也单调递增，所以 8x x27,15，所以Error!即 a的值等于 15.答案：158若函数 f(x) ax(a0， a1)在1,2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14 m) 在0，)上是增函数，则 a_.x解析：函数 g(x)在0，)上为增函数，则 14 m0，即 m .若 a1，则函数14f(x)在1,2上的最小值为 m，最大值为 a24，解得 a2， m，与 m 矛盾；当1a 12 140 a1 时，函数
26、f(x)在1,2上的最小值为 a2 m，最大值为 a1 4，解得 a ， m14.所以 a .116 14答案：14129已知函数 f(x) a .1|x|(1)求证：函数 y f(x)在(0，)上是增函数；(2)若 f(x)2 x在(1，)上恒成立，求实数 a的取值范围解：(1)证明：当 x(0，)时， f(x) a ，1x设 0 x1 x2，则 x1x20， x2 x10，f(x2) f(x1) 0，(a1x2) (a 1x1) 1x1 1x2 x2 x1x1x2所以 f(x)在(0，)上是增函数(2)由题意 a 2 x在(1，)上恒成立，1x设 h(x)2 x ，1x则 a h(x)在(
27、1，)上恒成立任取 x1， x2(1，)且 x1 x2，h(x1) h(x2)( x1 x2) .(21x1x2)因为 1 x1 x2，所以 x1 x20， x1x21，所以 2 0，1x1x2所以 h(x1) h(x2)，所以 h(x)在(1，)上单调递增故 a h(1)，即 a3，所以实数 a的取值范围是(，310(2019江阴期中)设函数 f(x) 是定义在(1,1)上的奇函数，且 f .ax b1 x2 (13) 310(1)求函数 f(x)的解析式；(2)用单调性定义证明 f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式 f(|t|1) f(t2) f(0)解：(1)因为 f(x) 是
28、定义在(1,1)上的奇函数，ax b1 x2所以 f(0) b0，所以 f(x) ，ax1 x2而 f ，(13)13a1 19 310解得 a1，13所以 f(x) ， x(1,1)x1 x2(2)证明：任取 x1， x2(1,1)且 x1 x2，则 f(x1) f(x2) .x11 x21 x21 x2 x1 x2 1 x1x2 1 x21 1 x2因为 x1 x2，所以 x1 x20，又因为 x1， x2(1,1)，所以 1 x1x20，所以 f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)，所以函数 f(x)在(1,1)上是增函数(3)由题意，不等式 f(|t|1) f(t2) f
29、(0)可化为 f(|t|1) f(t2)0，即 f(t2) f(|t|1)，因为 f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，所以 f(t2) f(1| t|)，所以Error!解得 t 且 t0，1 52 5 12所以该不等式的解集为 .(1 52 ， 0) (0， 5 12 ) 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1 f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足 f(xy) f(x) f(y)， f(3)1，当f(x) f(x8)2 时， x的取值范围是_解析：因为 f(9) f(3) f(3)2，所以由 f(x) f(x8)2，可得 fx(x8) f(9)，因为 f(x)是定义在(0，)上的增函数，
30、所以有Error!解得 8 x9.答案：(8,92已知定义在区间(0，)上的函数 f(x)满足 f f(x1) f(x2)，且当 x1 时，(x1x2)f(x)0.(1)证明： f(x)为单调递减函数；(2)若 f(3)1，求 f(x)在2,9上的最小值解：(1)证明：任取 x1， x2(0，)，且 x1 x2，则 1，由于当 x1 时， f(x)0，x1x2所以 f 0，即 f(x1) f(x2)0，(x1x2)因此 f(x1) f(x2)，所以函数 f(x)在区间(0，)上是单调递减函数14(2)因为 f(x)在(0，)上是单调递减函数，所以 f(x)在2,9上的最小值为 f(9)由 f f(x1) f(x2)得，(x1x2)f f(9) f(3)，而 f(3)1，(93)所以 f(9)2.所以 f(x)在2,9上的最小值为2.15
