1、- 1 -四川省邻水实验学校 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题 理时间：120 分钟 满分：150 分本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷（选择题共 60 分）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求)1与向量 a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是( )A. B(1，3,2)(13， 1， 1)C. D( ，3，2 )(12， 32， 1) 2 22设 z i，则| z|( )11 iA. B C. D212 22 323下列函数中，在(0，)上为增函数的是( )A ysin 2x B y
2、ln(1 x) xC y x3 x D e4设 a， bR，i 是虚数单位，则“ ab0”是“复数 a 为纯虚数”的( )biA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件5由 y2 x5 是一次函数； y2 x5 的图象是一条直线；一次函数的图象是一条直线写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A B C D6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖” ，乙说：“甲、丙都未获奖” ，丙说：“我获奖了” ，丁说：“是乙获奖了” ，四位歌手说的话都是假话，则获奖的歌手是( )A甲 B乙 C
3、丙 D丁7在长方体 ABCD A1B1C1D1中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1到截面AB1D1的距离为( )A. B. C. D.83 38 43 348设函数 f(x)在定义域内可导， y f(x)的图象如图，则导函数 y f( x)的图象可能- 2 -为( )9设 a ，则 a、 b、 c 的大小关系( )A abc B bacC acb D bca10用数学归纳法证明 12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12= 时，从 n=k 到2n13n=k+1 时，等式左边应添加的式子是( )A.(k-1)2+2k2 B.(k+1)2+k2C.(k+1)2 D.
4、(k+1)2(k+1) 2+11311.观察下列各式:5 5=3 125,56=15 625,57=78 125,则 52 011的末四位数字为( )A. 0625 B.3125 C.5625 D. 812512若关于 的不等式 成立，则 的最小值是xln21xabaA. B. C. D. 12eee12e第卷（非选择题共 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，底面 ABCD 为边长是 1 的正方形， PA2，则AB 与 PC 的夹角的余弦值为_14在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax2 (a，
5、b 为常数)过点 P(2，5)，且该bx曲线在点 P 处的切线与直线 7x2 y30 平行，则 a b 的值是_15设复数 z 满足| z34i|1，则| z|的最小值是_16若集合 a， b， c， d1,2,3,4，且下列四个关系：- 3 - a1； b1； c2； d4 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a， b， c， d)的个数是_三、解答题(共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分) 如图，四棱锥 P ABCD 中， PD平面 ABCD， PA 与平面 ABCD 所成的角为 60，在四边形 ABCD 中， ADC D
6、AB90， AB4， CD1， AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点 B、 P 的坐标；(2)求异面直线 PA 与 BC 所成的角的余弦值18(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) x33 x29 x a.(1)求 f(x)的单调递减区间；(2)若 f(x)在区间2,2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值19. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC A1B1C1中， CA CB CC12， ACB90， E、 F分别是 BA、 BC 的中点， G 是 AA1上一点，且 AC1 EG.(1)确定点 G 的位置；(2)求直线 AC1与平面 EFG 所成角 的大小- 4 -2
7、0. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) ax4ln x bx4 c 在 x1 处取得极值3 c，其中a， b， c 为常数(1)试确定 a， b 的值；(2)讨论函数 f(x)的单调区间；(3)若对任意 x0，不等式 f(x)2 c2恒成立，求 c 的取值范围21. (本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD， AP AB2， BC2 ， E， F 分别是 AD， PC 的中点2(1)证明： PC平面 BEF；(2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小22. (本小题满分 12 分)已知函数 在 x2 处的切线 的 0,
8、)2(0,1)(xeaxbxf斜率为 。7e22(1)求实数 a 的值。(2)若当 x0 时， y f(x) m 有两个零点，求实数 m 的取值范围。(3)设 g(x) b 若对于任意 x1 ，总存在 x2 (e2.718 28)，lnxf x (0， 32 1e， e使得 f(x1) g(x2)，求实数 b 的取值范围。- 5 -邻水实验学校高 2017 级 2019 年春季学期期中考试理科数学答案命题人：王方俊1、选择题 CBDBC ACDAB DA二、填空题 13答案： 14答案：315答案：46616解析：因为正确，也正确，所以只有正确是不可能的；若只有正确，都不正确，则符合条件的有序
9、数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有正确，都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有正确，都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)综上，符合条件的有序数组的个数是 6.答案：6三、解答题(共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分) 解：(1)建立如图所示的直角坐标系 D xyz. ADC DAB90， AB4， CD1， AD2， A(2,0,0)， C(0,1,0)， B(2,4,0)由 PD平面 ABCD，得 PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角
10、， PAD60.在 Rt PAD 中，由 AD2，得 PD2 .3 P(0,0,2 )3(2) (2,0，2 )， (2，3,0)，PA 3 BC cos ， PA BC .2 2 0 3 23 0413 1313 PA 与 BC 所成的角的余弦值为 .1313- 6 -18答案；解 (1) f( x)3 x26 x9.令 f( x)0，解得 x1 或 x3，函数 f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2) f(2)81218 a2 a，f(2)81218 a22 a， f(2) f(2)于是有 22 a20， a2. f(x) x33 x29 x2.在(1,3)上 f( x)0， f(
11、x)在1,2上单调递增又由于 f(x)在2，1上单调递减， f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间2,2上的最大值和最小值， f(1)13927，即 f(x)最小值为7.19. (本小题满分 12 分)解：(1)以 C 为原点，分别以 CB、 CA、 CC1为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则 F(1,0,0)， E(1,1,0)， A(0,2,0)， C1(0,0,2)， (0，2,2)AC1 设 G(0,2， h)，则 (1,1， h)EG AC1 EG， 0.EG AC1 101(2)2 h0. h1，即 G 是 AA1的中点(2)设 m( x， y， z)是平面 E
12、FG 的法向量，则 m ， m .FE EG 所以Error!.平面 EFG 的一个法向量 m(1,0,1)sin ，|mAC1 |m|AC1 | 2222 12 ，即 AC1与平面 EFG 所成角 为 . 6 620. (本小题满分 12 分)- 7 -解：(1)由题意知 f(1)3 c，因此 b c3 c，从而 b3.f( x)4 ax3ln x ax4 4 bx31x x3(4aln x a4 b)由题意 f(1)0，因此 a4 b0，解得 a12.(2)由(1)知 f( x)48 x3ln x(x0)令 f( x)0，解得 x1.当 01 时， f( x)0.因此 f(x)的单调递减区
13、间为(0,1)，f(x)的单调递增区间为(1，)(3)由(2)知， f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3 c，此极小值也是最小值，要使 f(x)2 c2(x0)恒成立，只需3 c2 c2，即 2c2 c30，从而(2 c3)( c1)0，解得 c 或 c1，所以 c 的取值范围为(，1 .32 32， )21(本小题满分 12 分)(1)证明 如图，以 A 为坐标原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 AP AB2， BC AD2 ，四边形 ABCD 是矩形，2 A， B， C， D， P 的坐标为 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(
14、2,2 ，0)， D(0,2 ，0)， P(0,0,2)2 2又 E， F 分别是 AD， PC 的中点， E(0， ，0)， F(1， ，1)2 2 (2,2 ，2)， (1， ，1)， (1,0,1)PC 2 BF 2 EF 2420， 2020.PC BF PC EF ， PC BF PC EF PC BF， PC EF.又 BF EF F， PC平面 BEF.(2)解 由(1)知平面 BEF 的一个法向量 n1 (2,2 ，2)，平面 BAP 的一个法向量 n2PC 2(0,2 ，0)，AD 2 n1n28.- 8 -设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ，则 cos |cos n
15、1， n2 | ，|n1n2|n1|n2| 8422 22 45.平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45.22. (本小题满分 12 分)解 (1) x0 时， f(x)( x22 ax)ex，f( x)e xx2(22 a)x2 a，由条件知 f(2) ，所以 a 。7e22 34(2)当 x0 时， f(x) ex，(x232x)所以 f( x) ex(x1)(2 x3)。12f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增， f(0) f 0，则 f(x)min f(1)(32) ，e2所以 m 时， y f(x) m 有两个零点。(e2， 0)(3)由题意，即要 f(x)min g(x)min。 (*)当 x0 时， f(x) ex，(x232x)由(2)知 f(x)min f(1) ，e2当 x0 时， x0， g(x)在 上是减函数，1e， eg(x)min g(e) b 。(11e)因为 f(x)ming(x)min，所以(*)不成立。若 b0， g(x)在 上是增函数，1e， eg(x)min g b(1e)。(1e)- 9 -要使 f(x)min g(x)min，只要 b(1e)，e2则 b ，e2 1 e即 b 的取值范围是 。( ， e2 1 e
