1、1专题 24 三角函数的图象和性质 1（正弦型）【考点讲解】1.能画出 的图象；2. 了解三角函数的周期性.理解正弦函数在区间 的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.一、具本目标：1.会用“五点法”作图； 2.备考重点：(1) 掌握正弦函数及正弦型函数的图象；(2) 掌握正弦函数及正弦型函数的周期性、单调性、对称性以及最值.二、知识概述：1.正弦函数的图象与性质：性质图象定义域值域最值当 时， ；当 时， 周期性奇偶性,奇函数单调性 在 上是增函数；在 上是减函数 对称性对称中心对称轴 ，既是中心对称又是轴对称图形。2.用五点法画出正弦型函数 的图象，先列表，令 ，求出2对应
2、的五个 的值和五个 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用 平滑的曲线连接起来，即得到 在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数 的图象. 3.对于 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程 解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与 轴的交点，可由 ，解得 ，即其对称中心为 相邻两对称轴间的距离为Error!，相邻两对称中心间的距离也为Error!,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点4.近几年高考在考查三角恒等变换的同时，对三角函数图象 与性质的考查力度有所加强，常常把恒等变换与图象和性
3、质相结合来考查.三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度为中低档，对基础知识与基本技能加强了考查的力度，分值分配合理，更重视细节给分，其中对函数 的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：函数图象在其对称轴处取 得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；函数图象与 x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与 x轴的交点间的距离为其函数的 个周期，注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.5.确定函数 当 时函数的单调性：对于函数 求其单调区间，要特别注意
4、的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为 的形式，然后求其单调递增区间，应把 放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之 内.求函数 的单调区间的步骤：(1)将 化为正(2)将 看成一个整体 ，由三角函数的单调性求解【特别提醒】解答三角函数的问题时，不要漏了“ ”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结求解三角函数的单调区间 时若 的系数为负应先化为正，同时切记不要漏掉考虑函数自身的定义域36.确定函数的对称性时，先将函数化成 的形式再求解其图象的对称轴是直线，图象与直线 的交点是图象的对称中心, 所以要记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入
5、的基本思想，就可经求出三角函数的对称轴与对称中心7.对于函数的奇偶性判断：如果 为偶函数，就有 ;如果 为奇函数，就有 .8.函数的周期性：求 的周期的方法（1）定义法：使得当 取定义域内的每一个值时，都有 .利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：使用此法时先将函数转化为 的形式，最小正周期是 . (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数 自变量加
6、绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是 , 但 的周期为 ，而， 的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为 或 的形式；正弦余弦函数的最小正周期是 ，正切函数的最小正周期公式是 ；注意一定要注意加绝对值。9.在函数 的图象平移变换中要注意人“ ”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移 个单位得 ，再把横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得4的图象，另一种是把 的图象横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移 个单位得 的图象【真题分析】1.【2017 山东，文 7】函数 最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【变式】 【2017 课标 II，文 3】函
7、数 的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【解析】由题意可知函数的最小正周期 .【答案】C2.【2018 年天津卷】将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减【解析】本题考点三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，考查学生的转化能力和计算求解能力.本题可先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间完成题的要求.由函数图象平移变换的性质可知：将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：5也就是 .可以求出函数 的单调递增区间，也就是 ，.同理可以求出函数的单调
8、递减区间，即 ，所以正确的选项是 A 选项. 【答案】A3.【2018 届江西省六校高三上学期第五次联考】函数 是偶函数的充要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C4.【2017 天津，文理】设函数 ， ，其中 ， .若 ，且 的最小正周期大于 ，则（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，6【解析】本题考点是根据题中给出的条件求正弦型函数的解析式，要把握好题中给出的条件.由题意可得：，这里 ，所以有 ，由题中的条件可知，函数的最小正周期大于 ，也就是 ，所以有当 时， ，可得，由题中的条件 ，得到 . 【答案】9.【2017 北京，文 16】已知 函数 .（I） f(x)的最小正周
9、期；（II）求证：当 时， 10.【2017 浙江，18】（本题满分 14 分）已知函数 f（ x）=sin 2xcos2x sin x cos x（ x R）（）求 的值7（）求 的最小正周期及单调递增区间【解析】 （）法一：直接求值： 法二：此法可为第二个问题提供便利，将原函数化简： f（ x）=sin 2xcos2x sin x cos x【模拟考场】1.若将函数 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A. B. C. D. 8【解析】：由题意，将函数 的图像向左平移 个单位得 ，则平移后函数的对称轴为 ，即 ，故选 B. 【答案】B2.为了得到函数 的图象，只需把函数
10、 的图象上所有的点（ ）A向左平行移动 个单位长度 B向右平行移动 个单位长度C向左平行移动 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度【解析】试题分析： ，所以只需把 的图象上所有的点向左平移 个单位.【答案】A3.将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间 上单调递减 B在区间 上单调递增C在区间 上单调递减 D在区间 上单调递增【答案】B4 将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像，若对满足9的 ， ，有 ，则 （ ）A. B. C. D.【解析】试题分析：向右平移 个单位后，得到 ，又 ，两函数最大与最小值的距离为 2，不妨 ， ， ，又 ， ，故选 D.
11、【答案】D.5.【2017 课标 3，文 6】函数 的最大值为（ ）A B1 C D 【答案】A6.【2015 高考福建，理 19】已知函数 的图像是由函数 的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移 个单位长度. 10()求函数 的解析式，并求其图像的对称轴方程；()已知关于 的方程 在 内有两个不同的解 （1)求实数 m 的取值范围；（2)证明： 【答案】( ) ， ；()（1） ；（2）详见解析 (2)1) （其中 ）依题意， 在区间 内有两个不同的解 当且仅当 ，故 m 的取值范围是.2)因为 是方程 在区间 内有两个不同的解， 所以 ， .当 时， 当 时, 11所以解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为 是方程 在区间 内有两个不同的解，所以 ， .当 时， 当 时, 所以于是12
