1、1专题 25 三角函数 三角函数的图象和性质 2（余弦型）【考点讲解】1.能画出 xycos的图象；2. 了解三角函数的周期性.理解余弦函数在区间 02， 的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.一、具本目标：1.会用“五点法”作图；2.备考重点：(1) 掌握余弦函数及余弦型函数的图象；(2) 掌握余弦函数及余弦型函数的周期性、单调性、对称性以及最值.二、知识概述：1.余弦函数的图象与性质：性质 cosyx图象定义域 R值域 1,最值 当 时， max1y；当 时， min1y周期性 2奇偶性偶 函数单调性在 上是增函数；在 上是减函数对称性 对称中心对称轴 ，既是中心对称又是
2、轴对称图形。2.用五点法画出正弦型函数 的图象，先列表，令 ，求出2对应的五个 x的值和五个 y值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到 在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数 的图象. 3.对于 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程 Zk解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与 x轴的交点，可由 ，解得 k，即其对称中心为 Zk相邻两对称轴间的距离为 ，相邻两对称中心间的距离也为 ,函数T2 T2的对称轴一定经过图象的最高点或最低点4.近几年高考在考查三角恒等变
3、换的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，常常把恒等变换与图象和性质相结合来考查.三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度为中低档，对基础知识与基本技能加强了考查的力度，分值分配合理，更重视细节给分，其中对函数 Rx的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间 的距离为其函数的半个周期；函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的 41个周期，注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先
4、伸缩再平移.5.求形如 (其中 A0， 0)的函数的单调区间，可以通 过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“ x ( )”视为一个“整体” ；A0(A0)时，所列不等式的方向与cosyx( R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)求函数 的单调区间的步骤：(1)将 化为正(2)将 x看成一个整体，由三角函数的单调性求解3【特别提醒】 （1）解答三角函数的问题时，不要漏了“ kZ”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“” 联结求解三角函数的单调区间时若 x的系数为负应先化为正，同时切记不要漏掉考虑函数自身的定义域（2）确定函数的对称性，周期性、单调性、极值、最值等问题时，先将函数化成的形
5、式再求解（3）使用周期公式，必须先将解析式化为 的形式；余弦函数的最小正周期是2T，正切函数的最小正周期公式是 T；注意一定要注意加绝对值。7.在函数 的图象平移变换中要注意人“ ”的影响，变换有两种顺序：一种ycosx的图象向左平移 个单位得 ，再把横坐标变为 原来的 1倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把 ycosx的图象横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得csyx的图象，向左平移 个单位得 的图象【真题分析】 1.【2018 年新课标 I 卷文】已知函数 ，则A. xf 的最小正周期为 ，最大值为 3 B. xf 的最小正周期为 ，最大值为 4 C. 的最小正周期为 2 ，最大值为 3
6、D. 的最小正周期为 2 ，最大值为 4【答案】A2.【2015 高考新课标 1，文 8】函数 ()fx=cos)的部分图象如图所示，则 ()fx的单调递减区间为( )A. B. C. D. 4【答案】D3.【2018 云南省玉溪第一中学高三上学期第一次月考】函数 在 0,内的值域为 31,2，则 w的取值范围是（ ）A. 5, B. ,6 C. 5,6 D. 5,63【解析】本题考点是余弦型函数的性质，函数 ， 0x，则 ，解得 536，选 D. 【答案】D4.【2016 安徽期中测试】已知函数 是定义在 1,2a上的偶函数，则的最小正周期是（ ）5A6 B5 C4 D2【答案】A5.【20
7、17 课标 3，文 6】设函数 f(x)=cos(x+ 3)，则下列结论错误的是（ ）A f(x)的一个周期为2 B y=f(x)的图像关于直线 x=83对称C f(x+ )的一个零点为 x= 6 D f(x)在( 2, )单调递减【解析】本题考点是余弦型函数的性质，也就是要充分了解与掌握余弦型函数的周期，对称性及单调性.（1）由题意可知原函数的周期是 Zk,2，很显然2 是它的一个周期.（2）当 x=83时， ，所以直线 x=83是原函数的一条对称轴.（3） 得到 ， ，所以有，所以 C 正确.（4） ， ，很显然 213，不是单调递减.【答案】D6.【2015 重庆二模】要得到函数 yco
8、s(2 x 4)的图象，只需将函数 ysin2 x 的图象( )A.向左平移 8个单位 B.向右平移 8个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 4个单位【解析】本题考点是余弦型函数图象的移位问题.【答案】A.67.【2017 江西 “北阳四校”高三开学摸底】已知函数 的图象与 1y的图象的两相邻交点间的距离为 ，要得到 xfy的图象，只需把 xysin的图象（ ）A. 向左平移 125个单位长度 B. 向右平移 125个单位长度C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】A8.【2017 课标 1，理 9】已知曲线 C1： y=cos x， C2： y=sin (2x+
9、23)，则下面结论正确的是A把 C1上各点的横坐标伸长到原来 的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2【解析】由于两函数的名称不同，所以要将两函数的名称利用诱导公式转化成相同的名称后再考虑移位的问题，两个函数的名称都可以转换，这里我们
10、 将函数 C2利用诱导公式转化为：则由 C1上各点的横坐标缩短到原业的 21倍变为原来的 ，再将曲线向左平移 12个单位得到 C2， ，所以答案是第四个. 7【答案】D9.【2017 江苏，16】 已知向量（1）若 a b,求 x 的值；（2）记 ()f,求 ()f的最大值和最小值以及对应的 x的值.【答案】 （1 ） 56x（2） 0x时， 取得最大值，为 3； 56时， 取得最小值，为 23.（2） .因为 ，所以 ，从而 .于是，当6x，即 0x时， 取到最大值 3；当，即5时， 取到最小值 2.【模拟考场】1.函数 的最小正周期是（ ）A 52 B C 2 D 58【解析】【答案】D
11、2.给出下列结论：若扇形的中心角为 2，半径为 1，则该扇形的面积为 1；函数 是偶函数；点 ,08是函数 图象的一个对称中心；函数 在 0,2上是减函数.其中正确结论的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4对于,函数 y=cosxsinx= 2cos(x+ 4)，当 x 0,2时, x+ 4 ,3， y 是减函数，正确，综上，正确的命题序号是，共 3 个。故选：C. 【答案】C3.下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是（ ）【解析】对于选项 A，因为 ，且图象关于原点对称，故选 A.【答案】A4.若将函数 的图像向右平移 个单位，所得图像关于 y轴对称， 则 的最小
12、正值是9_【解析】由题意 ，将其图象向右平移 个单位， 得 ，要使图象关于 y轴对称，则 ，解得 ，当 1k时， 取最小正值 83【答案】 835函数 的单调递增区间是_.【解析】 函数 递减时， .【答案】6 已知函数 （ 0， 0）为偶函数，且函数 ()yfx图象的两相邻对称轴间的距离为 2 （）求 8f的值；（）将函数 ()yfx的图象向右平移 6个单位后，得到函数 ()ygx的图象，求 ()gx的单调递减区间因为 ()fx为偶函数，所以对 xR， 恒成立，10因此 即 ，整理得 因为 0，且 xR，所以 又因为 ，故 62所以 由题意得 2A，所以 2故 因此 （）将 ()fx的图象向右平移 6个单位后，得到 6fx的图象，所以 当 （ kZ） ，即 （ ）时， ()gx单调递减，因此 ()gx的单调递减区间为 （ kZ）7.已知函数 （）求函数 ()fx的最小正周期及最值；11（）令 ，判断函数 ()gx的奇偶性，并说明理由解：（） ()fx()fx的最小正周期 当 时， ()fx取得最小 值 2；当 时， ()fx取得最大值 212
