1、1专题 27 三角函数 解三角形 1（正弦定理）【考点讲解】1、具本目标：1. 掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 ；2. 能够运用正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题.3.考纲解读：利用正弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题，需要综合应用两个定理及三角形有关知识；正弦定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与面积或取值范围结合进行考查；会利用数学建模思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题.二、知识概述：1.正弦定理：2.有关的概念：（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角.（
2、2）方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角.（3）方向角：相对于某一正方向 的水平角.（4）坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角.坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度.03.三角形的面积公式： 正弦定理内容变形形式解决的问题 （1）已知两角和任意一边，求 另一角和其他两条边；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.2.3. 解斜三角形在实际中的应用：解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海等方面都可能用到，解题的一般步骤：（1）分析题意，准确理解题意，分清已知与所求；（2）根据题意画出示意图；（3）将需要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理
3、运用正弦定理，余弦定理等关知识求解；（4）检验所得到结果是否具有实际意义，对解进行取舍，并写出答案.4.常见题型与方法：（1）灵活应用正、余弦定理及三角公式 进行边角转换（2）三角形形状的判定方法： 化边为角；化角为边.（3） 三角形中三角函数求值，恒等式证明.（4）通过三角变换探索角的关系，符号规律.（5）熟练掌握由三角形三个元素（至少有 一边）求解三角形的其它元素方法；（6）常用的三角形的有关定理：正、余弦定理；内角和定理； （7）常用的 三角形面积公式；（8）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能解决解三角形的计 算问题【真题分析】1.【2015 广东文】设 ABC的内角
4、 ， ， C的对边分别为 a， b， c，若 2a， 3c， 323cosA，且 cb，则 （ ）A3 B C2 D 3【答案】C2.【2015 高考广东，理 11】设 ABC的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，若 3a， 1sin2B， 6C，则 b . 【解析】本题考点三角形的内角和定理，正弦定理应用因为 si且 0,，所以 6B或 5，又 6C，所以 6B， ，又 3a，由正弦定理得 即 解得 1b，故应填入 【答案】 1【规避】解答此题要注意由 1sin2B得出 6或 5B时，结合三角形内角和定理舍去 56B3在 ABC中， 是 A的（ ）（A）充分非必要条件（B）必要非充
5、分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【解析】由正弦定理得 ，所以 .【答案】C4.【17 新课标 I 文】 ABC的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，已知， 2a， c，则 （ ）A 12 B 6 C 4 D 34【解析】 ， ，由正弦定理得： ，可得【答案】B5.【2014 福建,文 12】在 ABC中， ,则 ABC的面积等于_【答案】 236.【2016 高考新课标】 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，若 4os5A， cs13C， a，则 b 【解析】本题考点三角函数和差公式，正弦定理.由题意 ，且 ,为三角形内角，可得 ， ，又因为 ，所以 .【答案】 2
6、13【提示】一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 7.【2018 天津卷 15】在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 .（I）求角 B 的大小；（II）设 a=2， c=3，求 b 和 sin(2)的值.5解：在 ABC 中，由正弦定理 siniabAB，可得 ，又由 ，得 ，即 ，可得 tan3B又因为 (0)B， ，可得 B= （）解：在 ABC 中，由余弦定理及 a=2， c=3， B= 3，有 ，故 b= 7由 ，可得 3
7、sinA因为 ac，故 2os7A因此 ， 所以， 8.【2016 高考新课标 1 卷】 ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知（I）求 C；（II）若 的面积为 32,求 ABC的周长【解析】 （I）由已知及正弦定理得, ,即 故 6可得 1cosC2,所以 3 （II）由已知, 又 3,所以 6ab由已知及余弦定理得, 故 21ab,从而 所以 CA的周长为 57【模拟考场】1在 B中， cba、 分别是 A、 B、 C所对的边.若 105A， 4B， 2b，则c_.【解析】由三角形内角和公式得 ，正弦定理可求得 .所以可得 2.【答案】22.在 ABC 中，角 A， B
8、， C 所对的边分别为 a， b， c若 a= 7， b=2， A=60，则 sin B=_， c=_【答案】. 3721；3根据下列条件，确定 ABC有两解的是（ ）A. B. C. D. 【解析】对选择项 A 而言 这与三角形内角和定理矛盾，此时 ABC无解；对选择项 B 而言， C的两边及其夹角均以确定，该三角形确定； 7对选择 C 而言， ，只有一解；对选择项 D 而言， 。【答案】D4.已知 AB的内角 ，面积 S满足所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 由三角形面积公式 及正弦定理得： 所以 24SR,又因为 12，所以 248R,所以 恒成立，所以故选
9、A.【答案】A5.【2018 北京卷 15】在 ABC 中， a=7， b=8，cos B=17. （）求 A； （）求 AC 边上的高解：（）在 ABC 中，cos B=17， B（2，），sin B= 由正弦定理得 siniabAsinA=843，sin A=3 B（2，）， A（0，2）， A=8（）在 ABC 中，sin C=sin（ A+B）=sin AcosB+sinBcosA= =314如图所示，在 ABC 中，sin C=h， h= sinC= ， AC 边上的高为326.设锐角三角形 AB的内角 ， ， 的对边分别为 abc， ， ， 2sinA（）求 的大小；（）求 的取值
10、范围由 ABC 为锐角三角形知，32， ，所以 由此有 ，所以， 的取值范围为 32， 7. ABC中， 60, 1b, 这个三角形的面积为 3，求 的值。【解析】 S 2bcsinA,= 1csin6 0 , c4,由余弦定理得 a2 b2 c22 bccosA13, a 13,9又根据正弦定理 Aasin Bbi Ccsin , asin 392. 8.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c. 已知 b+c=2a cos B.（I）证明： A=2B；（II）若ABC 的面积2=4aS，求角 A 的大小.（II）由24aS得 ，故有，因 sin0B，得 又 ， ,C，所以 2B当 2时， A；当 B时， 4综上， 或 10
