1、- 1 -河北省邯郸大名县第一中学 2019 届高考数学模拟试题 文一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ，则 （ ）A B C D2已知 为虚数单位， ，则在复平面上复数 对应的点位于（ ）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限3某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如右表已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽取的女学生人数为A24 B16 C12 D84已知双曲线 和椭圆 有相同的焦点，则 的最小值为（
2、 ）A2 B3 C4 D55圆锥的侧面展开图是半径为 ，圆心角为 的扇形，则圆锥的表面积为（ ）A B C D6已知 是函数 的极小值点，则 （ ）A-16 B16 C-2 D27已知菱形 的边长为 2， ，点 ， 分别为 ， 的中点，则 （ ）A3 B1 C D8设当 时，函数 取得最大值，则 （ ）A B C D9如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ，若沿点 ，连线折成如图所示的多面体，使 平面 ，则该多面体的正视图的面积为（ ）- 2 -A B C D10如图，长方体 中， ， ，点 分别是 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成的角是A B C D11如图，点 在圆 上
3、，且点 位于第一象限，圆 与 正半轴的交点是 ，点 的坐标为， ，若 则 的值为（ ）A B C D12已知函数 ，若方程 有 3 个不同的实根，则实数 的取值范围为（ ）A B C D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。- 3 -13已知函数 .若 ，则 _14若实数 ， 满足约束条件 ，设 的最大值与最小值分别为 ， ，则_15过原点作圆 的两条切线，则两条切线所成的锐角是_.16在 中，角 、 、 所对的边分别边 、 、 ，若 ， ，则 的取值范围是_三、解答题：共 70 分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答
4、。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17在数列 中， ，且（1）证明：数列 是等差数列；（2）求数列 的前 n 项和 。18在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 设 D， E 分别为 PA， AC 中点（）求证： 平面 PBC；（）求证： 平面 PAB；（）试问在线段 AB 上是否存在点 F，使得过三点 D， E， F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点 F 的位置并证明；若不存在，请说明理由19为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生 960 人，其中男生 560 人，从全校学生中抽取了容量为
5、的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：- 4 -服务时间超过 1 小时服务时间不超过 1 小时男 20 8女 12 m（）求 ；（）将表格补充完整，并判断能否有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关？服务时间超过 1 小时服务时间不超过 1 小时合计男 20 8女 12 m合计（）以样本中学生参加社区服务时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查 6 名学生，试估计 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数.附：20已知 为抛物线 ： 的焦点，过 的动直线交抛物线 于 ， 两点当直线与轴垂直时， （1）求抛
6、物线 的方程；（2）设直线 的斜率为 1 且与抛物线的准线 相交于点 ，抛物线 上存在点 使得直线 ， 的斜率成等差数列，求点 的坐标21已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行.（）求函数 的极值；（）若对于 ， ，求实数 的取值范围.- 5 -（二）选考题：共 10 分。请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。22选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）在平面直角坐标系中，已知曲线 （ 为参数） ， .以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立
7、极坐标系.（I）写出曲线 与圆 的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知射线 分别与曲线 及圆 相交于 ，当 时，求的最大值.23选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知函数 ， .()当 ，求不等式 的解集；()若函数 满足 ，且 恒成立，求 的取值范围.- 6 -参考答案1A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合 ，解不等式求得集合 ，然后求两个集合的交集.【详解】由 ，解得 ；由 ，解得 ，故 .故选 A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2A【解析】【分析】利用复数的运算法则化简 z，再利用复数的几何意义即可得出结论【详解】由题知 ，则在复
8、平面上复数 对应的点为（ 1，-2） ，位于第四象限，故选 A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题3D【解析】【分析】根据题意现算出二年级女生的人数，得到三年级女生的人数，再利用分层抽样的方法抽取，即可得到答案.【详解】由题意，抽到二年级女生的概率是 0.19，所以二年级的女生人数为 人，所以三年级女生的人数为 人，现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，在三年级抽取的女学生人数为 人，故选 D.- 7 -【点睛】本题主要考查了简单的随机抽样与分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4B【解析】【分析
9、】由题意可得 ，利用“乘 1”与均值不等式可得结果.【详解】双曲线 和椭圆 有相同的焦点，当且仅当 ，即 时，等号成立， 的最小值为 3故选：B【点睛】本题考查了圆锥曲线的简单几何性质，考查了均值不等式的应用，考查了转化能力与计算能力，属于中档题.5C【解析】【分析】由于题意可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求得底面的半径 r，求出底面圆的面积，即可求解表面积【详解】圆锥侧面展开图是一个圆心角为 120半径为 3 的扇形圆锥的母线长为 l3，底面周长即扇形的弧长为 32，底面圆的半径 r1，可得底面圆的面积为 r2，圆锥的表面积为： 4故选 C- 8 -【点睛】本题考查弧长公式及
10、旋转体的表面积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力6D【解析】【分析】可求导数得到 f（ x）3 x212，可通过判断导数符号从而得出 f（ x）的极小值点，从而得出 a 的值【详解】 f（ x）3 x212； x2 时， f（ x）0，2 x2 时， f（ x）0， x2 时， f（ x）0； x2 是 f（ x）的极小值点；又 a 为 f（ x）的极小值点； a2故选： D【点睛】本题考查函数极小值点的定义，考查了根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，属于基础题7D【解析】【分析】先确定一组基底，利用向量加法运算法则，用这对基底把 表示出
11、来，然后进行数量积计算。【详解】点 为 的中点 所以 ;点 F 为 CD 的中点，所以 ,=- 9 -因为菱形 的边长为 2,所以 ,又因为 ，运用数量积公式，可求 = 故本题选 D。【点睛】本题考查了向量的数量积运算、向量的加法运算、菱形的几何性质。8D【解析】【分析】先化简已知得 f(x)= ，再利用三角函数的图像和性质分析函数的最值和此时 的值.【详解】由题得 f(x)= ,其中当 ，即 时，函数取到最大值.所以 .故选：D【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9A【解析】【分析】由图及条件可证 ，可得 AB，由此
12、可求正视图的面积.【详解】由题意，得 ， ，由 平面 ，得 ，所以 ，所求多面体的的正视图的面积为 故选 A.- 10 -【点睛】本题考查了折叠体问题，考查了三视图的知识及空间线面、线线位置关系，属于基础题.10A【解析】【分析】由题意：E，F，G 分别是 DD1，AB，CC 1的中点，连接 B1G，FB 1，那么FGB 1或其补角就是异面直线 A1E 与 GF 所成的角【详解】由题意：ABCDA 1B1C1D1是长方体，E，F，G 分别是 DD1，AB，CC 1的中点，连接 B1G，A 1EB 1G，FGB 1为异面直线 A1E 与 GF 所成的角或其补角连接 FB1，在三角形 FB1G 中
13、，AA 1AB2，AD1，B1FB1G ，FG ，B1F2B 1G2+FG2FGB 190，即异面直线 A1E 与 GF 所成的角为 90故选：A【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养11A【解析】【分析】直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出 A 的坐标,由 A， B 的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sin+8cos=5，结合 + =1，即可解得 的值【详解】- 11 -半径 r| OB| 1，由三角函数定义知，点 A 的坐标为（cos，sin） ；点 B 的坐标为（ ， ） ，| BC| ， ，整理可得：-6sin+8c
14、os=5，又 + =1，解得 sin 或 ，又点 位于第一象限，0 ，sin ，故选 A.【点睛】本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题12B【解析】【分析】构造函数 和 ，则函数 的图象过定点 ，画出函数 的图象，求出直线 与 相切时 的值，然后结合图象可判断出所求的取值范围【详解】令 和 ，则函数 的图象过定点 画出函数 的图象，如下图所示- 12 -由 消去 整理得 .令 ，解得 或 （舍去）.又易知曲线 在 处的切线的斜率为 1结合图象可得：当 时， 和 的图象有两个不同的交点，所以方程 有 3 个不同的实根；当 时，
15、 和 的图象有两个不同的交点，所以方程 有 2 个不同的实根；当 时， 和 的图象有两个不同的交点，所以方程 有 1 个实根或没有实根；当 时， 和 的图象有两个不同的交点，所以方程 有 2 个不同的实根综上可得所求 的范围为 故选 B【点睛】解答本题的关键有两个：一个是运用转化的思想方法，将方程根的个数的问题转化为两函数图象公共点个数的问题；二是运用数形结合的思想进行求解，以增强解题的直观性解题时的注意点是确定两图象公共点个数变化时的临界位置13- 13 -【解析】【分析】通过 求出 ，代入解析式求得结果.【详解】因为所以本题正确结果：【点睛】本题考查利用分段函数解析式求解函数值的问题，属于
16、基础题.14【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线 到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得 的比值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线 过点 时， 取得最大值 7；过点时， 取得最小值 2，所以 .【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根- 14 -据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15【解析】【分析】根据题意作出图像，由圆方程可得圆心 ，圆的半径为： ，由圆的切线性质可知，解 ，问
17、题得解。【详解】根据题意作出图像如下：其中 是圆的切线， 为切点， 为圆心，则由圆的方程 可得：圆心 ，圆的半径为： ，在 中，可得： ，又 将 平分，所以【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆的方程，考查计算能力，属于基础题。16【解析】【分析】先根据余弦定理求 C,再根据正弦定理化 为角的函数关系式，最后根据正弦函数性质求结果.【详解】- 15 -， ， ，又 ，因此， ，故答案为 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.17(1)见解析；（2） .【解析】【分析】（1）根据数列 通项公式的特征，我们对 ，两边同时除以 ，得到 ，利用等差数列的定
18、义，就可以证明出数列 是等差数列；（2）求出数列 的通项公式，利用裂项相消法，求出数列 的前 项和 。【详解】（1） 的两边同除以 ，得，又 ， 所以数列 是首项为 4，公差为 2 的等差数列。(2)由（1）得 ，即 ,故 ，所以- 16 -【点睛】本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前 和。已知 ， 都是等差数列，那么数列 的前 和就可以用裂项相消法来求解。18 （）见证明；（）见证明；（）见解析.【解析】【分析】（）证明以 DE平面 PBC，只需证明 DE PC；（）证明 BC平面 PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明 PA BC， AB BC；（）当点 F 是线段 AB
19、 中点时，证明平面 DEF平面 PBC，可得平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行【详解】（）证明：因为点 E 是 AC 中点，点 D 为 PA 的中点，所以 又因为 DE 面 PBC，PC面 PBC，所以 DE平面 PBC （）证明：因为平面 PAC面 ABC，平面 PAC平面 ABC=AC，又 PA平面 PAC， PA AC，所以 PA面 ABC，因为 BC平面 ABC，所以 PA BC又因为 AB BC，且 PA AB=A，所以 BC面 PAB （）当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D， E， F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行取 AB 中点 F，连 EF，连
20、 DF- 17 -由（）可知 DE平面 PBC因为点 E 是 AC 中点，点 F 为 AB 的中点，所以 EF BC又因为 EF 平面 PBC， BC平面 PBC，所以 EF平面 PBC又因为 DE EF=E，所以平面 DEF平面 PBC，所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行故当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D， E， F 所在平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行【点睛】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理是关键19 （） ；（）没有 95%把握；（）4 人【解析】【分析】（）根据分层抽
21、样比例列方程求出 n 的值，再计算 m 的值；（）根据题意完善 22 列联表，计算 K2，对照临界值表得出结论；（）计算参加社区服务时间超过 1 小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可【详解】（）由已知，该校有女生 400 人，故 ，得 ， 从而 .（）作出列联表如下：超过 1 小时的人数 不超过 1 小时的人数 合计男 20 8 28女 12 8 20合计 32 16 48.- 18 -所以没有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关.（）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过 1 小时的概率 ，故估计这 6名学生一周参加社区服务时间超过 1 小
22、时的人数是 4 人.【点睛】本题考查列联表与独立性检验的应用问题，也考查了用频率估计概率的应用问题，是基础题20(1) (2) 【解析】【分析】（1）由题意可得 ，即可求出抛物线的方程， （2）设直线 的方程为 ，联立消去 ，得 ，根据韦达定理结合直线 ， ， 的斜率成等差数列，即可求出点 的坐标.【详解】解：（1）因为 ，在抛物线方程 中，令 ，可得 于是当直线与 轴垂直时， ，解得 所以抛物线的方程为 （2）因为抛物线 的准线方程为 ，所以 设直线 的方程为 ，联立 消去 ，得 设 ， ，则 ， .若点 满足条件，则 ，即 ，因为点 ， ， 均在抛物线上，所以 ， ， 代入化简可得 ，将
23、， 代入，解得 将 代入抛物线方程，可得 - 19 -于是点 为满足题意的点【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强21 （） 在 处取得极大值为 ，无极小值 .（）【解析】【分析】（）求得 f（ x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得 a，求出 f（ x）的导数和单调区间，即可得到所求极值；（）设 x1 x2，可得 f（ x1） f（ x2） mx12 mx22，设 g（ x） f（ x） mx2在（0，+）为增函数，设 g（ x） f（ x） mx2在（0，+）为增函数，求得 g（ x）的导数，再由参数分离和构造函数
24、，求出最值，即可得到所求 m 的范围【详解】（） 的导数为 ，可得 的图象在点 处的切线斜率为 ，由切线与直线 平行，可得 ，即 ， ，当 时 ，当 时， ，所以 在 上递增，在 上递减，可得 在 处取得极大值为 ，无极小值.（）设 ，若 ，可得 ，即设 在 上增函数，即 在 上恒成立，可得 在 上恒成立，设 ，所以 ，在 上递减，在 上递增， 在 处取得极小值为 ，所以 .【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查不等式恒成立问题解法，- 20 -运用参数分离和构造函数是解题的关键，考查了转化思想，属于中档题22 （I） , ；（II） .【解析】【分析】（I）将曲线
25、 的参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标方程的互化公式将圆 的普通方程转化为直角坐标方程.（II）由于两个三角形的高相同，故将面积的比转化为 ，将 代入曲线 和圆 的极坐标方程，求得 ， ，由此求得的表达式，利用辅助角公式进行化简，并根据三角函数的值域，求得 的最大值.【详解】()曲线 的普通方程为 ，由普通方程与极坐标方程的互化公式的 的极坐标方程为：，即 . 曲线 的极坐标方程为： . ()因为 与 以点 为顶点时，它们的高相同，即 ,由()知， ，所以,由 得 ，所以当 即 时， 有最大值为 ,因此 的最大值为 .【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程
26、，考查普通方程转化为极坐标方程，考查三角形面积的比，考查极坐标系下长度的计算，属于中档题.23() ；() .【解析】【分析】（I）当 时，利用零点分段法去绝对值，将所求不等式转化为不等式组来求解出来.（II）根据 求得 图像关于 对称，由此求得 的值，将不等式恒成立问题，转化为 恒成立.利用分离常数法，结合基本不等式，求得 的取值范围.【详解】()当 ， ， - 21 -等价于 或 ，解得 ，所以原不等式的解集为 ； ()因为 ，所以函数 的图像关于直线 对称， , 因为 恒成立，等价于 恒成立，令 ，当 时， ，可知 ；原不等式等价于 ；当 时， ； 综上， 的取值范围为 .【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解绝对值不等式，考查利用分离常数法求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
