1、1第 2课时 系统题型解三角形及应用举例三角形基本量的求解问题典 例 感 悟 1(2018天津期末)在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.已知 sin Csin 2 B，且 b2， c ，则 a等于( )3A. B.12 3C2 D2 3解析：选 C 由 sin Csin 2B2sin Bcos B及正、余弦定理得c2 b ，代入数据得(2 a1)( a2)0，解得 a2，或 a (舍去)，故选a2 c2 b22ac 12C.2(2018天津实验中学期中)设 ABC的内角 A， B， C所对边的长分别为 a， b， c.若 b c2 a,3sin A5sin B，则角
2、 C( )A. B.3 23C. D.34 56解析：选 B 3sin A5sin B，由正弦定理可得 3a5 b，即a b. b c2 a， c b，53 73cos C .a2 b2 c22ab259b2 b2 499b2253b2159103 12 C(0，)， C .故选 B.233(2018北京高考)在 ABC中， a7， b8，cos B .17(1)求 A；(2)求 AC边上的高解：(1)在 ABC中，因为 cos B ，17所以 sin B .1 cos2B437由正弦定理得 sin A .asin Bb 322由题设知 B，所以 0 A .2 2所以 A .3(2)在 ABC
3、中，因为 sin Csin( A B)sin Acos Bcos Asin B ，32 ( 17) 12 437 3314所以 AC边上的高为 asin C7 .3314 332方 法 技 巧 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法三角形形状的判断问题典 例 感 悟 1(2019湖南师大附中月考)在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 ，则 ABC的形状是( )bcos Cccos B 1 cos 2C1 cos 2BA等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：选 D 由已知 ， 或 0，1 cos 2C1 cos 2B 2cos2C2c
4、os2B cos2Ccos2B bcos Cccos B cos Ccos B bc cos Ccos B即 C90或 .由正弦定理，得 ， ，即 sin Ccos Csin cos Ccos B bc bc sin Bsin C cos Ccos B sin Bsin CBcos B，即 sin 2Csin 2B， B， C均为 ABC的内角，2 C2 B或 2C2 B180， B C或 B C90， ABC为等腰三角形或直角三角形故选 D.2(2018重庆六校联考)在 ABC中，cos 2 (a， b， c分别为角 A， B， C的对B a c2c边)，则 ABC的形状为( )A直角三角形
5、 B等边三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：选 A 已知等式变形得 cos B1 1，即 cos B .由余弦定理得 cos Bac ac3，代入得 ，整理得 b2 a2 c2，即 C为直角，则 ABC为直角三a2 c2 b22ac a2 c2 b22ac ac角形3在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 ，( b c a)(b c a)sin Asin B ac3 bc，则 ABC的形状为( )A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形解析：选 C ， ， b c.sin Asin B ac ab ac又( b c a)(b c a)3
6、 bc， b2 c2 a2 bc，cos A .b2 c2 a22bc bc2bc 12 A(0，)， A ， ABC是等边三角形3方 法 技 巧 判定三角形形状的 2种常用途径角化边利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断边化角通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断三角形面积问题典例 (2017全国卷) ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.已知 sin A cos A0， a2 ， b2.3 7(1)求 c；(2)设 D为 BC边上一点，且 AD AC，求 ABD的面积解 (1)由已知可得 t
7、an A ，所以 A .323在 ABC中，由余弦定理得 284 c24 ccos ，23即 c22 c240.解得 c4(负值舍去)(2)法一：由题可得 BAD ，由余弦定理可得 cos 6C ， CD ， AD ， S ABD 4 sin DAB .27 7 3 12 3 34法二：由题设可得 CAD ，2所以 BAD BAC CAD .6故 ABD的面积与 ACD的面积的比值为 1.12ABADsin612ACAD又 ABC的面积为 42sin 2 ，12 23 3所以 ABD的面积为 .3方法技巧 求解与三角形面积有关的问题的步骤针对训练1(2019德化一中、永安一中、漳平一中三校联考
8、)在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 ， A ， b1，则 ABC的面积为( )a b csin A sin B sin C 233 3A. B.32 34C. D.12 14解析：选 B 由正弦定理可得 ，又asin A bsin B a b csin A sin B sin C 233A ， b1，则 a1， B ，所以 ABC是边长为 1的正三角形，所以 ABC的面积为3 312 .12 32 342(2019长沙、南昌高三第一次联考)在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为a， b， c，且 bsin B asin A( c a)sin C.(1)
9、求 B；(2)若 3sin C2sin A，且 ABC的面积为 6 ，求 b.3解：(1)由 bsin B asin A( c a)sin C及正弦定理，得 b2 a2( c a)c，即a2 c2 b2 ac.5由余弦定理，得 cos B .a2 c2 b22ac ac2ac 12因为 B(0，)，所以 B .3(2)由(1)得 B ，3所以 ABC的面积为 acsin B ac6 ，得 ac24.12 34 3由 3sin C2sin A及正弦定理，得 3c2 a，所以 a6， c4.由余弦定理，得 b2 a2 c22 accos B36162428，所以 b2 .7正、余弦定理在平面几何中
10、的应用在平面几何图形中考查正弦定理、余弦定理是近几年高考的热点，解决这类问题既要抓住平面图形的几何性质，也要灵活选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式典例 (2019福州期末)已知菱形 ABCD的边长为 2， DAB60. E是边 BC上一点，线段 DE交 AC于点 F.(1)若 CDE的面积为 ，求 DE的长；32(2)若 CF4 DF，求 sin DFC.7解 (1)依题意，得 BCD DAB60.因为 CDE的面积 S CDCEsin BCD ，12 32所以 2CE ，解得 CE1.12 32 32在 CDE中，由余弦定理得DE CD2 CE2 2CDCEcos BCD .22 12
11、 22112 3(2)法一：依题意，得 ACD30， BDC60，设 CDE ，则 0 60.6在 CDF中，由正弦定理得 ，CFsin DFsin ACD因为 CF4 DF，所以 sin ，7CF2DF 27所以 cos ，37所以 sin DFCsin(30 ) .12 37 32 27 32114法二：依题意，得 ACD30， BDC60，设 CDE ，则 0 60，设 CF4 x，因为 CF4 DF，则 DF x，7 7在 CDF中，由余弦定理，得 DF2 CD2 CF22 CDCFcos ACD，即 7x2416 x28 x，3解得 x ，或 x .239 233又因为 CF AC
12、，所以 x ，所以 x ，12 3 34 239所以 DF ，2219在 CDF中，由正弦定理得 ，CDsin DFC DFsin ACD所以 sin DFC .2sin 302219 32114方法技巧平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果提醒 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题 针对训练1(2019皖西教学联盟期末)如图，在平面四边形 ABCD中，
13、AB1， BC ， AC CD， CD AC，当 ABC变化时，对角线 BD的最大值为_3 3解析：设 ABC ， ACB ，7在 ABC中，由余弦定理得 AC242 cos .3由正弦定理得 ，故 sin .ABsin ACsin sin 4 23cos 又 CD AC，所以在 BCD中，由余弦定理得3BD233(42 cos )2 cos ，3 3 3 4 23cos ( 2)即 BD2156 cos 6sin 1512sin .3 ( 3)当 时， BD取得最大值 3 .56 3答案：3 32.(2019晋城一模)如图，在锐角三角形 ABC中，sin BAC ，sin ABC ， BC6
14、，点 D在边 BC上，且2425 45BD2 DC，点 E在边 AC上，且 BE AC， BE交 AD于点 F.(1)求 AC的长；(2)求 cos DAC及 AF的长解：(1)在锐角三角形 ABC中，sin BAC ，sin ABC ， BC6，由正弦定理可得2425 45 ，所以 AC 5.ACsin ABC BCsin BAC BCsin ABCsin BAC6452425(2)由 sin BAC ，sin ABC ，可得 cos BAC ，cos ABC ，2425 45 725 35所以 cos Ccos( BAC ABC)cos BACcos ABCsin BACsin ABC .
15、725 35 2425 45 35因为 BE AC，所以 CE BCcos C6 ， AE AC CE .35 185 75在 ACD中， AC5， CD BC2，cos C ，13 35由余弦定理可得 AD ，AC2 DC2 2ACDCcos C 25 4 12 17所以 cos DAC .AD2 AC2 CD22ADAC 17 25 41017 1917858由 BE AC，得 AFcos DAC AE，所以 AF .75191785 71719解三角形应用举例典例 如图，某游轮在 A处看灯塔 B在 A的北偏东 75方向上，距离为 12 海里，灯塔 C在 A的北偏西 30方向上，距离为 8
16、6海里，游轮由 A处向正北方向航行到 D处时再看灯塔 B， B在南偏3东 60方向上，则 C与 D的距离为( )A20 海里 B8 海里3C23 海里 D24 海里2解析 在 ABD中，因为灯塔 B在 A的北偏东 75方向上，距离为 12 海里，货轮6由 A处向正北方向航行到 D处时，再看灯塔 B， B在南偏东 60方向上，所以 B180756045，由正弦定理 ，ADsin B ABsin ADB可得 AD 24 海里ABsin Bsin ADB1262232在 ACD中， AD24 海里， AC8 海里， CAD30，3由余弦定理得 CD2 AD2 AC22 ADACcos 3024 2(
17、8 )22248 192.3 332所以 CD8 海里故选 B.3答案 B方法技巧处理距离问题的策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 针对训练1.如图，一位同学从 P1处观测塔顶 B及旗杆顶 A，得仰角分别为 和 90 .后退 l(单位：m)至点 P2处再观测塔顶 B，仰角变为原来的一半，设塔 CB和旗杆 BA都垂直于地面，且 C， P1， P2三点在同一条水平线上，则塔 CB的高为_m；旗杆 BA的高为9_m(用含有 l和 的式
18、子表示)解析：设 BC x m，在 Rt BCP1中， BP1C ，在 Rt P2BC中， P2 ， 2 BP1C P1BP2 P2， P1BP2 ，即 P1BP2为等腰三角形， P1B P1P2 l， 2 BC x lsin .在 Rt ACP1中， tan(90 )， AC ，则ACCP1 AClcos lcos2sin AB AC BC lsin .lcos2sin l cos2 sin2 sin lcos 2sin 答案： lsin lcos 2sin 2.如图所示，当甲船位于 A处时获悉，在其正东方向相距 20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30相距 10海里 C处的乙船，乙船立即朝北偏东 30角的方向沿直线前往 B处营救，则 sin 的值为_解析：如图，连接 BC，在 ABC中，AC10， AB20， BAC120，由余弦定理，得BC2 AC2 AB22 ABACcos 120700， BC10 ， 再由正弦定理，得 ，sin .7BCsin BAC ABsin 217答案： 21710
